Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

58 7 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ VON VERTEILUNGEN
7.4.4 Hypergeometrische Verteilung
In einer Urne seien r rote und s schwarze Kugeln. Davon werden n Kugeln ohne Zurücklegen
gezogen (n ≤ r +s). Um die Varianz der Anzahl der schwarzen Kugeln in der Ziehung
zu bestimmen { definieren wir für i = 1, . . . , n die Zufallsvariablen
1 falls i-te Kugel Schwarz ist
X i =
.
0 sonst
∑
S n = n X i sei die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Ziehung.
i=1
Mit p := P (X 1 = 1) =
s gilt E(X r+s
1) = E(X1) 2 = p und damit Var(X 1 ) = E(X1) 2 −
(E(X 1 )) 2 = p − p 2 = p(1 − p).
Es läßt sich zeigen, daß P (X i = 1) = P (X 1 = 1) = p für alle i und P (X j = 1, X k = 1) =
für alle j ≠ k ist. (Siehe Krengel, Kap 2.7: Austauschbare Verteilungen.)
s
r+s
Damit ist: Var(X i ) = E(X 2 i ) − (E(X i )) 2 = p − p 2 = p(1 − p) = Var(X 1 ) und
Kov(X j , X k ) = E(X j X k ) − E(X j )E(X k ) = P (X j = 1, X k = 1) − p 2
= p s − 1
r + s − 1 − p2
1
= −p(1 − p)
für j ≠ k.
r + s − 1
Unter Verwendung von Satz 7.3.5 folgt daraus:
( n∑
)
n∑
Var(S n ) = Var X i =
i=1
Var(X i ) + ∑
i=1 j≠k
1
= nVar(X 1 ) − n(n − 1)p(1 − p)
r + s − 1
1
= np(1 − p) − np(1 − p)(n − 1)
[
r + s − 1
= np(1 − p) 1 − n − 1 ]
.
r + s − 1
Kov(X j , X k )
Wenn wir alle r + s Kugeln aus der Urne ziehen, erwarten wir natürlich, daß wir alle
schwarzen Kugeln ziehen und somit S n auf jeden Fall den Wert s annimmt. Für n = r + s
erwarten wir also Var(S n ) = 0. Ein Vergleich mit der Formel bestätigt diese.
7.5 Die Tschebychew-Ungleichung und das Gesetz der Großen
Zahlen
Seien X 1 , X 2 , ..., X n unabhängig und X n = 1 n
Var ( ( )
) 1
n∑
X n = Var X i
n
i=1
n∑
X i . Dann gilt:
i=1
= 1 (∑ ) Satz 7.3.5
n Var {}}{
Xi =
2
1
n 2
n∑
Var(X i ).
i=1