Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

5.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit: Definition und Folgerungen 31
Dann gilt
365 · 364
P (D 1 ) = P (ω 1 ≠ ω 2 ) =
365 · 365 = 364
365 .
Sei nun j ≥ 2. Auf dem Ereignis D 1 ∩ . . . ∩ D j−1 haben die Personen 1, . . . , j an j
verschiedenen Tagen Geburtstag. Damit ergibt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses D j gegeben D 1 ∩ . . . ∩ D j−1 zu
P (D j |D 1 ∩ . . . ∩ D j−1 ) = 365 − j = 1 − j
365 365 .
(Man beachte, daß dies bedingte Wahrscheinlichkeiten sind. So ist etwa P (D 3 |D2) c =
364/365.) Wir erhalten nun
P (D 1 ∩ D 2 ∩ . . . ∩ D k−1 )
= P (D 1 )P (D 2 |D 1 )P (D 3 |D 1 ∩ D 2 ) . . . P (D k−1 |D 1 ∩ D 2 ∩ . . . ∩ D k−2 )
(
= 1 − 1 ) (
1 − 2 ) (
. . . 1 − k − 1 )
365 365
365
k−1
∏
(
= 1 − j )
.
365
j=1
Für größere Werte von k bietet sich folgende Näherung an. Es gilt log(1 − h) ≈ −h und
somit
∑k−1
∑k−1
log(P (D 1 ∩ D 2 ∩ . . . ∩ D k−1 )) = log(1 − j/365) ≈ −(1/365) j
j=1
k(k − 1)
= −
2 · 365 .
Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben,
ist daher näherungsweise
1 − e − k(k−1)
2·365 .
Die Näherung ist sehr gut. Für k = 23 liefert sie 0.500 im Vergleich zu dem exakten Wert
0.506.
j=1
5.1.5 Beispiel: Sterbetafeln
Wir betrachten eine Bevölkerungsgruppe, z.B. die Einwohner einer Stadt oder eines Landes
und wollen die Lebensdauern ihrer Einwohner erfassen. Dazu ordnen wir jedem Individuum
sein ganzzahliges Lebensalter zu. Wir nennen diese Größe T . T ist eine ganzzahlige
Größe, die vom Zufall abhängt. Sei p(k) die Wahrscheinlichkeit im Alter k zu sterben.
Diese ist dann p(k) = P (T = k). Im Versicherungswesen, insbesondere bei Lebensversicherungen
interessiert die Sterberate. Diese wird wie folgt erklärt.
Sei S(l) := P (T ≥ l) die Wahrscheinlichkeit mindestens l Jahre alt zu werden (Überlebenswahrscheinlichkeit)
und sei h(l) = P (T = l|T ≥ l) die Wahrscheinlichkeit im Alter
von l Jahren zu sterben, wenn man bereits dieses Lebensjahr erreicht hat (Sterberate).
Es gilt:
h(l) = P (T = l|T ≥ l) =
P (T = l, T ≥ l)
P (T ≥ l)
=
P (T = l)
P (T ≥ l) = p(l)
S(l)
S(l) − S(l + 1)
= .
S(l)