Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

5.3 Bayessche Formel 33
5.2.2 Beispiel: Das Ziegenproblem (Aufgabe 4 auf dem ersten Übungsblatt)
Es gibt zwei mögliche Strategien. Die eine ist ohne Wechseln, die andere ist mit Wechseln.
Welche ist besser?
1. Strategie: Ohne Zusatzinformationen wird man mit Gleichverteilung raten. Die Wahrscheinlichkeit
beim ersten Raten den Hauptgewinn zu treffen ist 1 . Da man nicht wechselt,
3
ändert sich durch den zweiten Rateversuch nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit. Die
Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist also 1.
3
2. Strategie: Das erste Rateergebniss wird unter Benutzung der Information des Showmasters
korrigiert. R i , i = 1, 2 seien die Rateergebnisse in Stufe i.
Sei P 1 das Wahrscheinlichkeitsmaß, das vorliegt, falls der Hauptgewinn hinter Tür 1 steht.
Es gilt P 1 (R 1 = j) = 1 , j = 1, 2, 3.
3
Bei Methode 2 gilt auch noch:
a) P 1 (R 2 = 1|R 1 = 1) = 0
b) P 1 (R 2 = 1|R 1 = 2) = 1
c) P 1 (R 2 = 1|R 1 = 3) = 1
Dies folgt, da der Quizmaster Tür 3 oder Tür 2 als nicht besetzt zeigen muß.
Nach Satz 5.2.1 gilt:
P 1 (R 2 = 1) =
3∑
i=1
P 1 (R 2 = 1|R 1 = i)P 1 (R 1 = i) = 0 · 1
3 + 1 · 1
3 + 1 · 1
3 = 2 3 .
5.3 Bayessche Formel
5.3.1 Satz (Bayessche Formel)
Sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, {B 1 , ..., B l } disjunkte Zerlegung von Ω und A ⊂
Ω. Dann gilt die Bayessche Formel:
Beweis:
P (B j |A) = P (A ∩ B j)
P (A)
P (B j |A) =
5.3.2 Beispiel: Farbenblindheit
P (A|B j )P (B j )
.
l∑
P (A|B m )P (B m )
m=1
5.1.3,(2)
{}}{
= P (A|B 5.2.1
j)P (B j ) {}}{
=
P (A)
P (A|B j )P (B j )
.
l∑
P (A|B m )P (B m )
M männlich, W weiblich, fb farbenblind.
P (M) = P (W ) = 1, P (fb|M) = 1 , P (fb|W ) = 1 .
2 12 288
Was ist die Wahrscheinlichkeit männlich zu sein, wenn man farbenblind ist?
m=1
P (M|fb) =
1
P (fb|M)P (M)
P (fb|M)P (M) + P (fb|W )P (W ) =
12 · 1
2
1 · 1 + 1 · 1
12 2 288 2
= 24
25 .