Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

94 11 WAHRSCHEINLICHKEITSMAßE MIT DICHTEN
Bemerkung: f legt F fest (Integrieren von −∞ bis x), F legt f fest (Differenzieren nach
der oberen Grenze). F und f stehen also in eineindeutiger Beziehung zueinander. Zu f und
F gehört genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q : B → [0, 1]. (Dabei ist B die σ-Algebra
der Borelschen Mengen. Die Definition folgt weiter unten.) Dies kann auf verschiedene
Weisen angegeben werden:
x∫
1) Q((−∞, x]) = f(y)dy = F (x),
2) Q(A) =
∞∫
−∞
−∞
Eigenschaften von Q
1 A (x)f(x)dx, falls A Borelmenge ist.
Für A i disjunkt gilt: Q ist σ-additiv, denn
( ∞
)
⋃
∫
Q A i =
i=1
∫
=
=
=
1 ∞S
i=1
∑ ∞
i=1
∞∑
∫
i=1
∞∑
Q(A i ).
i=1
A i
(x)f(x)dy
1 Ai (x)f(x)dx
1 Ai (x)f(x)dx
Nun zum Definitionsbereich von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Potenzmengen sind im Allgemeinen
zu groß. Die passenden Mengensysteme sind σ-Algebren.
11.1.5 Definition (σ-Algebra)
Ein System A von Teilmengen von Ω heißt σ-Algebra, falls gilt:
a) Ω ∈ A,
b) A ∈ A ⇒ A C ∈ A,
⋃
c) A i ∈ A für i = 1, 2, 3, . . . ⇒ ∞ A i ∈ A.
11.1.6 Folgerungen
Es gilt
1) ∅ ∈ A,
i=1
⋂
2) A i ∈ A für i = 1, 2, 3, . . . ⇒ ∞ A i ∈ A.
i=1
Demnach ist eine σ-Algebra ein Mengensystem, das unter abzählbaren Durchschnitten,
abzählbaren Vereinigungen und der Komplementbildung abgeschlossen ist.