Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

24 4 GLEICHVERTEILUNGEN UND KOMBINATORIK
4.5.1 Satz 1
W
Es gelte außerdem lim N
N→∞
N
= p (0 ≤ p ≤ 1).
Sei n ∈ N fest. Dann gilt für N → ∞: (W N r
)( S N
n−r)
( N n)
→ ( n
r)
p r (1 − p) n−r für 0 ≤ r ≤ n.
Bemerkung Der Satz besagt, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der hypergeometrischen
Verteilungen gegen die Binomialverteilung b(n; p) konvergieren.
Beweis: Schreibe W statt W N
)
( W
)( N−W
r n−r
( N
n)
( ) n [W ]r [N − W ] n−r
=
Es gilt: [N] n = [N] n−r [N − n + r] r .
r [N]
( ) n
n [W ]r [N − W ] n−r [N] r
=
r [N] r [N] n−r [N − n + r]
} {{ r
}
=:R N (r)
( ) n W (W − 1) . . . (W − r + 1)
=
r N(N − 1) . . . (N − r + 1)
( n
→ p
r)
r (1 − p) n−r
(N − W )(N − W − 1) . . . (N − W − n + r + 1)
N(N − 1) . . . (N − n + r + 1)
, weil R N (r) −→
N→∞
1 für 0 ≤ r ≤ n und n fest.
· R N (r)
4.5.2 Anwendung in der Qualitätskontrolle
Sowohl Binomial- als auch Hypergeomoetrische Verteilung treten in der Qualitätskontrolle
auf.
In einer Warenlieferung oder Produktionseinheit (engl. batch) sei W die Anzahl der defekten
Stücke und S die Anzahl der intakten Stücke.
Wird eine Produktionseinheit verkauft, so einigen sich Produzent und Abnehmer darauf,
daß der Verkauf nur dann stattfindet, wenn die Lieferung gewisse Qualitätsstandards erfüllt.
Der Qualitätsstandard gelte als erfüllt, wenn der Anteil der defekten Stücke in der
Lieferung maximal c ist.
Es wäre ideal, wenn es eine Möglichkeit gäbe, den Anteil der defekten Stücke exakt zu
bestimmen. Das ist jedoch nur möglich, wenn man jedes einzelne Stück prüft. Eine Untersuchung
aller Stücke hat jedoch manchmal ungewollte Folgen. Wird z.B. bei einer Lieferung
von Feuerwerkskörpern oder Einmalblitzlichtern jedes Stück untersucht, so bedeutet
das die Zerstörung der ganzen Lieferung. Außerdem kostet die Kontrolle jedes Stücks Zeit
und Geld.
Also bleibt nur die Möglichkeit aufgrund von Stichproben die im Allgemeinen unbekannten
Größen W und S zu schätzen. Ein Testverfahren soll folgendes beachten:
1) Der Stichprobenumfang soll möglichst klein sein, damit die ungewollten Nebenwirkungen
des Tests gering sind.
2) Es soll die unbekannten Größen W und S möglichst genau schätzen, und die Wahrscheinlichkeit
eines Meßfehlers gering halten.