Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

112 12 SCHLIEßENDE STATISTIK
5. Präzisierung der Frage: Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α (z.B. 1 %)
sagen, dass die Brauerei zu wenig abfüllt?
Sei µ 0 = 0, 5. Wir geben nun ein einseitiges Konfidenzintervall I n an, für das gilt:
P µ (µ ∈ I n ) ≥ 1 − α für alle µ. (*)
Liegt aber µ 0 nicht in I n , so schließen wir mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α,
daß die Brauerei zu wenig abfüllt. Das Konfidenzintervall lautet:
I n =
(
−∞, X n + ˆσ n
√ n
t 1−α;n−1
)
.
Dies erfüllt (*), denn
P µ (µ ∈ I n ) = P µ
(
µ ≤ X n + ˆσ n
√ n
t 1−α;n−1
)
= P µ
(
µ ≤ X n − ˆσ n
√ n
t α;n−1
)
= P µ
( √n X n − µ
ˆσ n
≥ t α;n−1
)
= 1 − α.
Setze nun α = 0, 01. Dann ist: x 8 + √ ˆσ 8
8
t 0,99;7 = 0, 495 + 0,01 √
8 · 3 = 0, 505 weil t 0,99;7 = 3
ist. Weil µ 0 < 0, 505 ist, lässt sich mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% nicht
behaupten, die Brauerei fülle zu wenig ab.
Oft läßt sich das Konfidenzintervall nur näherungsweise angeben. Dabei hilft dann der
folgende Satz über die asymptotische Verteilung des ML-Schätzers.
12.4.4 Satz
Sei Φ die Verteilungsfunktion von N(0,1). ˆθ n sei ML-Schätzer. Unter Glattheitsvoraussetzungen
an f θ (x) gilt für β ∈ R:
lim P θ( √ nI(θ)(ˆθ n − θ) ≤ β) = Φ(β)
n→∞
mit I(θ) der Fisher-Information. Ist I(θ) stetig, so gilt auch
(√
)
lim P θ nI(ˆθ n )(ˆθ n − θ) ≤ β = Φ(β).
n→∞
Bemerkung: Setzt man Φ(−β α ) = α, so gilt P θ
(ˆθn − √nI(ˆθ βα
≤ θ ≤ ˆθ
)
n + √
βα
→
n) nI(ˆθ n)
1 − 2Φ(−β α ) = 1 − 2α. Das heißt, wir haben ein näherungsweises Konfidenzintervall zur
Sicherheitswahrscheinlichkeit (1 − 2α) vorliegen.