Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

12 2 WAHRSCHEINLICHKEITEN BEKANNTER ZUFALLSMECHANISMEN
2.4.4 Binomialverteilung
Frage: Was ist die Wahrscheinlichkeit p k mit einer p-Münze in n Würfen k Einsen zu
werfen?
p k = W s({(e 1 , . . . , e n ) ∈ Ω n |
=
∑
n∑
e i = k})
i=1
nP
(α 1 ,...,α n)∈{(e 1 ,...,e n)∈Ω n | e i =k}
i=1
= #{(e 1 , . . . , e n ) ∈ Ω n |
=
( n
k)
p k (1 − p) n−k
W s((α 1 , . . . , α n ))
n∑
e i = k} · p k (1 − p) n−k
i=1
( n
)
k heißt Binomialkoeffizient und beschreibt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen
einer n-elementigen Menge. Aus der Analysisvorlesung istbekannt daß ( )
n =
n!
n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 1. (Binomische Formel (a + b) n = n ∑
Aufgrund der Binomischen Formel gilt ∑ p k = 1.
k
k=0
( n
k
k
k!(n−k)!
mit
)
a k b n−k , n ∈ N, a, b ∈ R)