Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

9.1 Definition und Eigenschaften erzeugender Funktionen 73
9.1.4 Folgerung
∏
Seien X 1 , X 2 , ..., X n unabhängige Zufallsgrößen. Dann gilt: f nP (z) = n f Xi (z).
X i
9.1.5 Beispiele
1) Seien X 1 , ..., X n unabhängig und Bernoulli-verteilt mit P (X i = 1) = p, P (X i = 0) = q.
∑
Dann gilt: f Xi (z) = q + pz. Setzt man S n = n X i , so gilt für die erzeugende Funktion:
f Sn (z) = (q + pz) n = n ∑
k=0
( n
)
k p k q n−k z k .
Wie zu erwarten war, ist das die erzeugende Funktion der Binomialverteilung.
2) Seien X 1 , X 2 , ..., X n unabhängig und geometrisch verteilt mit
P (X i = k) = pq k , (k = 0, 1, 2, ...), so ergibt sich als erzeugende Funktion:
∑
f Xi (z) = ∞ pq k z k = und mit Satz 9.1.2, 3 folgt:
k=0
p
1−qz
E(X i ) = f ′ X i
(1) =
i=1
∑
Setzen wir wieder S n = n X i , so folgt weiter:
i=1
p
f Sn (z) = (
1 − qz )n = p n (1 − qz) −n =
i=1
pq
(1 − qz) 2 | z=1 = q p .
i=1
∞∑
( ) −n
p n (−q) k z k
k
Dabei haben wir dieallgemeine binomische Formel angewandt:
( ( ( a a a
(1 + s) a = 1 + s + s
1)
2)
2 + s
3)
3 + ... mit |s| < 1, a ∈ R.
k=0
Hierbei ist ( )
a
k :=
a(a−1)...(a−k+1)
, a ∈ R, k ∈ N ∪ {0},
k!
und es gilt: ( −n
k
Damit ist: f Sn (z) = ∞ ∑
)
=
(−n)(−n−1)...(−n−k+1)
k=0
= (−1) k n(n+1)...(n+k−1)
= (−1) k( n+k−1
k! k! k
( n+k−1
)
k p n q k z k
und P (S n = k) = ( )
n+k−1
k p n q k .
3) Seien X 1 , X 2 , ..., X n unabhängig und Poisson-verteilt mit
P (X i = k) = λk i
k! e−λ i
, (k = 0, 1, 2, ...), so ist die erzeugende Funktion:
∑
f Xi (z) = ∞ λ k i zk
e −λ i
= e λ iz−λ i
= e λi(z−1) .
k!
k=0
∑
Für die erzeugende Funktion von S n = n X i gilt dann: f Sn (z) = e
∑
Wegen Satz 9.1.2 gilt: S n ist Poisson-verteilt mit Parameter n λ i .
i=1
i=1
nP
i=1
λ i (z−1)
.
)
.