Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

11.4 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 99
11.4.4 Beispiel
Die Exponentialverteilung hat die Dichte f(x) = λe −λx 1 [0,∞) (x).
Für n ≥ 1 gilt: (f ∗ ) n (z) = λn z n−1
(n−1)! e−λz 1 [0.∞) (z).
Dabei ist (f ∗ ) n := f ∗ f ∗ f ∗ f ∗ ... ∗ f das n-fache Faltungsprodukt.
Beweis durch Induktion:
Induktionsanfang: Richtig für n = 1.
Induktionsvorraussetzung: (f ∗ ) n (z) = λn z n−1
(n−1)! e−λz 1 [0,∞) (z).
Induktionsschritt: (n → n + 1)
(f ∗ ) n+1 (z) = f ∗ (f ∗ ) n (z)
=
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(z − x)(f ∗ ) n (x)dx
λe −λ(z−x) 1 [0,∞) (z − x) λn x n−1
−∞
(n − 1)! e−λx 1 [0,∞) (x)dx
∫∞
= λ n+1 e −λz x n−1
(n − 1)! 1 (−∞,z](x)1 [0,∞) (x)dx
∫z
= λ n+1 e −λz
n+1 zn
= λ
n! e−λz 1 [0,∞) (z).
0
x n−1
dx für z ≥ 0 und = 0 für z < 0
(n − 1)!
Bemerkung: Die Gammaverteilung G(α, β) mit den Parametern(α, β) hat die Dichte
f(x) = βα
Γ(α) xα−1 e −βx 1 [0,∞) (x). Folglich ist (f ∗ ) n die Dichte einer G(n, λ)-Verteilung.
11.4.5 Beispiel: Herleitung des Poisson-Prozesses über exponential verteilte
Zufallsvariablen
X i sei exponentialverteilt mit Parameter λ. X i sei die Wartezeit zwischen dem (i − 1)-
∑
ten und dem i-ten Anruf. S n = n X i sei die Gesamtwartezeit bis zum n-ten Anruf, mit
i=1
S 0 = 0. Die Anzahl der Anrufe bis zur Zeit t ist N t = max{k ≥ 0|S k ≤ t}. Was ist die
Verteilung von N t ? Es gilt
P (N t = n) = P (S n ≤ t, S n+1 > t)
= P (S n+1 > t) − P (S n > t)
=
∫ ∞
t
n+1 sn
λ
n! e−λs ds −
∣
= −λ n sn ∣∣
∞
n! e−λs t
∫ ∞
t
λ n
s n−1
(n − 1)! e−λs ds