Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

98 11 WAHRSCHEINLICHKEITSMAßE MIT DICHTEN
11.4.2 Folgerung
Sind X 1 , ..., X k unabhängig und hat die Verteilung von X i die Dichte f i , so hat die gemeinsame
Verteilung von (X 1 , . . . , X k ) die Wahrscheinlichkeitsdichte f = k f i
∏
.
Beweis:
Es gilt
P (X 1 ≤ α 1 , X 2 ≤ α 2 , ..., X k ≤ α k ) =
=
=
=
k∏
P (X i ≤ α i )
i=1
∫ α i
k∏
i=1
−∞
∫ α 1 ∫ α k
−∞
∫ α 1
...
...
f i (x i )dx i
−∞
i=1
∫ α k
i=1
k∏
f i (x i )dx 1 . . . dx n
f(x)dx.
−∞
−∞
11.4.3 Folgerung
Sind X und Y unabhängig mit Dichten f und g. Dann hat die Verteilung von Z = X + Y
∞∫
die Dichte (f ∗ g)(t) := f(t − s)g(s)ds. f ∗ g heißt Faltung von f und g.
Beweis:
Es gilt
−∞
P (Z ≤ α) = P (X + Y ≤ α)
∫
=
f(x)g(y)dxdy
=
=
{(x,y)|x+y≤α}
∫
{(x,y)|t≤α}
∫ α ∫ ∞
(
f(t − s)g(s)dsdt
f(t − s)g(s)ds)dt
−∞
−∞
∞∫
mit t = x + y und s = y. Damit ist f(t − s)g(s)ds die Dichte von Z = X + Y .
−∞