Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

7.6 Approximation stetiger Funktionen 61
Beweis:
Seien X 1 , ..., X n unabhängige, identisch verteilte Bernoulli-Variablen mit
n∑
P (X i = 1) = p = 1 − P (X i = 0) und S n = 1 X
n i .
Dann ist Ef(S n ) = n ∑
k=0
i=1
f( k n )b(n, p; k), wobei b(n, p; k) = ( n
k)
p k (1 − p) n−k .
Da f auf dem kompakten Intervall [0, 1] stetig ist, ist f gleichmäßig stetig auf [0, 1]. Damit
gilt: ∀ε > 0 ∃δ > 0 mit |f(x) − f(y)| ≤ ε falls, |x − y| ≤ δ.
Außerdem ist f beschränkt, also max |f(x)| ≤ M für ein geeignetes M ∈ R.
0≤x≤1
Sei also ε ≥ 0. Dann gibt es ein δ ≥ 0 mit |f(x) − f(y)| ≤ ε falls |x − y| ≤ δ und es gilt:
|f(p) − B n (p)| = |
n∑
f(p)b(n, p; k) −
k=0
n∑
k=0
f( k )b(n, p; k)|
n
n∑
= | (f(p) − f( k ))b(n, p; k)|
n
k=0
∑
≤
|f(p) − f( k ∑
)|b(n, p; k) + |f(p) − f( k )|b(n, p; k)
n n
{k:| k n −p|≤δ} {k:| k n
∑
−p|>δ}
≤ ε b(n, p; k) + 2M
∑
b(n, p; k)
{k:| k n −p|≤δ} {k:| k n −p|>δ}
≤
ε + 2M · P ({|S n − p| > δ})
Satz7.5.1
{}}{ p(1 − p)
≤ ε + 2M
nδ 2
≤ ε + 2M 1
4nδ 2
da max p(1 − p) = 1/4 ist,
0≤p≤1
= ε + M
2nδ 2
≤ 2ε, falls n hinreichend groß ist.
Wir haben also ein n gefunden, das nur von ε und nicht von p ∈ [0, 1] abhängt. Damit ist
die Konvergenz gleichmäßig.