Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

7.1 Der Erwartungswert 51
7.1.4 Eigenschaften des Erwartungswertes
(1) E(α · X) = α · E(X).
(2) Für A ⊆ Ω gilt: E(1 A ) = P (A), wobei 1 A (ω) =
(3) |EX| ≤ E|X|
{ 1 falls ω ∈ A
0 falls ω /∈ A .
(4) Sind E|X| und E|Y | kleiner unendlich, so gilt E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
(5) Sind X, Y Zufallsvariablen mit P ({ω|X(ω) ≤ Y (ω)}) = 1, so gilt: E(X) ≤ E(Y ).
Beweis:
Zu (1): E(αX) = ∑ αX(ω)p(ω) = α ∑ X(ω)p(ω) = αE(X).
ω∈Ω
ω∈Ω
Zu (2): E(1 A ) = ∑ 1 A (ω)p(ω) = ∑ p(ω) = P (A).
ω∈Ω
ω∈A
Zu (3): |EX| = |E(X + ) − E(X − )| ≤ |EX + | + |EX − | = E(X + + X − ) = E|X|.
Zu (4):
E(X + Y ) = ∑ ω∈Ω(X(ω) + Y (ω))p(ω)
= ∑ X(ω)p(ω) + ∑ Y (ω)p(ω)
ω∈Ω
ω∈Ω
= E(X) + E(Y )
Zu (5):
E(X) = ∑ ω∈Ω
X(ω)p(ω)
=
(∗)
≤
=
∑
ω∈{ω|X(ω)≤Y (ω)}
∑
ω∈{ω|X(ω)≤Y (ω)}
∑
ω∈{ω|X(ω)≤Y (ω)}
= ∑ ω∈Ω
Y (ω)p(ω)
= E(Y )
X(ω)p(ω) +
Y (ω)p(ω) +
Y (ω)p(ω) +
(*) P (X ≤ Y ) = 1, und damit P (X > Y ) = 0
und schließlich p(ω) = 0 auf {ω | X(ω) > Y (ω)}.
∑
ω∈{ω|X(ω)>Y (ω)}
∑
ω∈{ω|X(ω)>Y (ω)}
∑
ω∈{ω|X(ω)>Y (ω)}
X(ω)p(ω)
X(ω) · 0
Y (ω)p(ω)