Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

INHALTSVERZEICHNIS
iii
7 Erwartungswert und Varianz von Verteilungen 50
7.1 Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2 Beispiele von Erwartungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Varianz und Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Varianzen einiger Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.5 Die Tschebychew-Ungleichung und das Gesetz der Großen Zahlen . . . . . 58
7.6 Approximation stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Satz von de Moivre-Laplace 62
8.1 Der Satz von de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2 Die Landauschen Symbole und die Stirling Formel . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Approximation der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 Der Zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9 Erzeugende Funktionen 71
9.1 Definition und Eigenschaften erzeugender Funktionen . . . . . . . . . . . . 71
9.2 Poisson-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3 Ausgedünnte Poisson-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.4 Poisson-Prozess über dem Einheitsquadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10 Markov-Ketten 79
10.1 Die Kain und Abel-Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.2 Markov-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.3 Absorbierende Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.4 Rekurrente und transiente Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.5 Stationäre Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.6 Konvergenz gegen die stationäre Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11 Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten 93
11.1 Wahrscheinlichkeits-Dichte, Verteilungsfunktion, σ-Algebren . . . . . . . . 93
11.2 Wahrscheinlichkeitsmaße und Zufallsvariablen auf R k . . . . . . . . . . . . 95
11.3 Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.4 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.5 Momenterzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.6 χ 2 k-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.7 t n -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103