Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

12.4 Konfidenzintervalle 109
12.3.3 Definition (zulässig)
Ein Schätzer T ′ heißt zulässig, falls für jeden Schätzer T mit R(θ, T ) ≤ R(θ, T ′ ) für alle
θ ∈ Θ gilt: R(θ, T ) = R(θ, T ′ ) für alle θ.
Bemerkung: Sowohl T 1 als auch T 3 sind zulässig.
12.3.4 Satz (Die Cramer–Rao-Ungleichung)
Seien X 1 , . . . , X n unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Ws-Dichte oder Ws-
Funktion f θ (x).
Sei T n (X 1 , ..., X n ) ein Schätzer von θ mit Werten in Θ ⊂ R, sei E θ T n differenzierbar in θ
und gelte ∂ E ∂θ θT n = ∫ T n (x) ∂ f n ∂θ θ (x)dx mit f θ n(x) = ∏ n f θ (x n ). Sei b n (θ) := E θ T n − θ und
I(θ) = E θ (( ∂ ∂ξ log f ξ(X 1 )| ξ=θ ) 2 ). Dann gilt:
i=1
E θ (T n − θ) 2 ≥ (1 + b′ n(θ)) 2
.
nI(θ)
Beweis: Siehe Krengel, Paragraph 4.5: Die Informationsungleichung.
Bemerkung: Die Cramer–Rao-Ungleichung gibt eine Abschätzung nach unten für die
Risikofunktion R(θ, T ). I(θ) heißt Fischer-Information (nach Sir Ronald Fischer).
Für die Beispiele (1)–(4) des ML-Schätzers gilt, dass die untere Schranke der Cramer–
Rao-Ungleichung angenommen wird. Dabei ist stets E θ T n = θ.
Was ist I(θ)?
1) Binomialverteilung: I(θ) = n
θ(1−θ)
2) Poisson-Verteilung: I(θ) = 1 θ
3) Exponentialverteilung: I(θ) = 1
θ 2
4) Normalverteilung (µ unbekannt): I(θ) = 1
σ 2
12.4 Konfidenzintervalle
Hier wird nun behandelt, wie stark die Schätzer schwanken.
Wir beginnen mit einem Beispiel zu Aussagen mit Irrtumswahrscheinlichkeiten.