EinfÃ¼hrung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung fÃ¼r ...

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18 3 GRUNDBEGRIFFE Das Komplementärereignis hierzu ist, daß kein Gast sein mitgebrachtes Geschenk zurückerhält. Die Wahrscheinlichkeit dafür konvergiert gegen e −1 ∼ = 0, 37. Folglich sind für große n etwa 37% aller Permutationen fixpunktfrei.
19 4 Gleichverteilungen und Kombinatorik 4.1 Die Gleichverteilung 4.1.1 Die Gleichverteilung Bei der Gleichverteilung betrachten wir einen endlichen Grundraum Ω und gehen davon aus, daß alle Elementarereignisse aus Ω mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten. (Ein Element ω ∈ Ω heißt Elementarereignis.) Aus 1 = ∑ p(ω) = #Ω · p(ω) folgt p(ω) = 1 für alle ω ∈ Ω. #Ω ω∈Ω Für A ⊂ Ω gilt: P (A) = #A Anzahl der günstigen Fälle . In Worten: P (A) = . #Ω Anzahl der möglichen Fälle Ein Gleichverteilungsproblem besteht also in der Bestimmung der Anzahl der günstigen Fälle und der Anzahl der möglichen Fälle. 4.1.2 Einleitendes Beispiel In einer Urne sind 5 weiße und 4 schwarze nicht nummerierte Kugeln. Es werden 3 Kugeln gezogen. Was ist die Wahrscheinlichkeit 2 weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen? Die Anzahl der möglichen Fälle ist ( 9 3) . Die Anzahl der günstigen Fälle ist ( 5 2)( 4 1) . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also (5 2)( 4 1) ( 9 3) = 10 21 . 4.2 Das Kombinationsprinzip 4.2.1 Das Kombinationsprinzip in Worten Sei Ω eine Menge von n-Tupeln ω = (ω 1 , . . . , ω n ), die man als Ergebnisse eines aus n Teilexperimenten bestehenden Zufallsexperiments auffassen kann, wobei ω i das Ergebnis des i-ten Teilexperiments ist. Für das erste Teilexperiment gebe es k 1 mögliche Ausgänge. Für jedes i sei k i die Zahl der möglichen Ausgänge des i-ten Teilexperimentes, unabhängig davon wie die früheren Teilexperimente ausgegangen sind. Dann ist #Ω = k 1 . . . k n . 4.2.2 Das Kombinationsprinzip in Formeln Seien A 1 , A 2 , . . . , A n endliche Mengen und Ω ⊂ A 1 × . . . × A n . Sei k j ∈ N mit k 1 = |A 1 |, k j ≤ |A j | für j = 2, . . . , n. Sei Ω j ω ′ 1 ,...,ω′ j−1 = {(ω 1 , . . . , ω j )|ω i = ω ′ i, i = 1, . . . , j − 1} für j = 2, . . . , n und sei Ω = {(ω 1 , . . . , ω n )|ω 1 ∈ A 1 , (ω 1 , . . . , ω i ) ∈ Ω i ω 1 ,...,ω i−1 für i = 2, . . . , n}. ∏ Gilt für j = 2, . . . , n |Ω j ω 1 ,...,ω j−1 | = k j für alle (ω 1 , . . . , ω j−1 ), so folgt #Ω = n k j . j=1
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10.2 Markov-Ketten 81 Zur Existenz:
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