Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

6.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 47
6.2.3 Beispiel (n-facher Münzenwurf einer p-Münze)
Beim n-fachen Münzwurf ist der Grundraum Ω = {ω = (ω 1 , ..., ω n )|ω i ∈ {0, 1}} und das
dazugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß P ({(ω 1 , ..., ω n )}) = p P ω i
(1 − p) n−P ω i
.
Wir definieren die Zufallsvariablen X i : Ω → {0, 1}, X i (ω) = ω i für i = 1, . . . , n.
Behauptung: X 1 , ..., X n sind unabhängig.
Beweis: Sei (ω 1, ′ ..., ω n) ′ ∈ Ω beliebig. Dann gilt:
( n
)
⋂
P {X i = ω i}
′ = P ({(ω 1, ′ ..., ω n)}) ′ = p P ω i ′ (1 − p)
n− P ∏ n
ω i ′ = P ({X i = ω i})
′
i=1
und damit sind X 1 , ..., X n unabhängig.
∑
Sei nun S n = n X i . Dann gilt:
i=1
({ n∑
})
P (S n = k) = P X i = k
i=1
({
})
n∑
= P ω
X
∣ i (ω) = k
i=1
= ∑
P ({(ω 1 , ..., ω n )})
ω| P ω i =k
= ∑
=
ω| P ω i =k
p k (1 − p) n−k
( n
k)
p k (1 − p) n−k .
i=1
Sind also die X i Bernoulli-verteilt, d.h. P (X i = ω i ) = p ω i
(1 − p) 1−ω i
, ω i ∈ {0, 1}, so ist
die Summe S n der X i nach b(n, p)-verteilt.
Allgemeiner gilt: Seien X 1 , ..., X n unabhängig und b(1, p) verteilt und Y 1 , ..., Y m ebenfalls
∑
unabhängig und b(1, p) verteilt. Dann ist n ∑
X i + m Y i b(n + m, p)-verteilt.
i=1
j=1
6.2.4 Satz (Konstruktion eines Wahrscheinlichkeitsraumes aus n unabhängigen
Zufallsgrößen zu vorgegebenen Verteilungen)
Seien (Ω i , P i ) Wahrscheinlichkeitsräume mit Ω i ⊂ R für i = 1, . . . , n und p i , die zu den
Wahrscheinlichkeitsmaßen P i gehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen.
∏
Weiter sei Ω = Ω 1 ×. . .×Ω n = {ω = (ω 1 , ..., ω n )|ω i ∈ Ω i , i = 1, ..., n} und p(ω) = n p i (ω i ).
Seien X i (ω) = ω i für i = 1, ..., n Zufallsvariablen und sei P das zu p gehörige Wahrscheinlichkeitsmaß.
Dann gilt:
a) p(ω) ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω.
i=1