Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

38 5 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN UND UNABHÄNGIGKEIT
= P ( A m
)
−
m
∑
= P ( A m
)
+
m
∑
⎡
= P ( )
A m
⎣1 +
∑
k=1 {i 1 ,...,i k }⊂{1,...,n}
∑
k=1 {i 1 ,...,i k }
m∑
∑
k=1 {i 1 ,...,i k }
= P ( ) ∏
m
A m (1 − P (A j ))
j=1
= P ( A m
) m ∏
=
=
n∏
j=m+1
j=1
P (A j )
n∏
P (C i ) .
i=1
P ( )
A c j
m∏
P ( Aj) c .
j=1
(−1) k−1 P ( A m ∩ A i1 ∩ . . . ∩ A ik
)
(−1) k P ( A m
)
P (Ai1 ) . . . P (A ik )
⎤
(−1) k P (A i1 ) . . . P (A ik ) ⎦
2. Fall: m = n
Hier ist C i = A c i für i = 1, ..., n. Nun setzt man für A m = Ω und argumentiert bis zur
drittletzten Zeile genauso!
5.4.6 Korollar
Seien A 1 , ..., A n unabhängig. Dann gilt:
( n
) (
)
⋃
n∏
n∑
P A i = 1 − (1 − P (A i )) ≥ 1 − exp − P (A i ) .
i=1
i=1
i=1
Beweis:
Es gilt
( n
) ((
⋃
n
) c )
⋃
P A i = 1 − P A i
i=1
= 1 − P
= 1 −
= 1 −
( n
⋂
i=1
i=1
A c i
n∏
P (A c i)
i=1
)
n∏
(1 − P (A i )) .
i=1