Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

5.4 Unabhängigkeit von Ereignissen 37
5.4.5 Satz
Seien A 1 , ..., A n unabhängig und C i ∈ {∅, A i , A C i , Ω} für i = 1, ..., n.
Dann sind C 1 , ..., C n unabhängig. In Formeln:
P
( ⋂
i∈I
C i
)
= ∏ i∈I
P (C i ) für alle I ⊂ {1, . . . , n}.
Insbesondere sind A c 1, ..., A c n unabhängig.
Beweis:
Es genügt den Fall I = {1, . . . , n} zu betrachten.
Ist eines der C i = ∅, so steht auf der linken Seite P (∅) und auf der rechten Seite steht ein
Produkt, in dem ein Faktor 0 ist.
Ist eines der C i = Ω, so können ( wir o.B.d.A. annehmen, daß das C n ist. In diesem Fall
n
) ([
⋂
n−1
] ) (
⋂
n−1 ⋂
steht auf der linken Seite: P C i = P C i ∩ Ω = P C i
). Auf der rechten
[ i=1
i=1
i=1
n∏
n−1
]
∏
Seite steht: P (C i ) = P (C i ) P (Ω) = n−1 ∏
P (C i ). Somit können wir die C i = Ω
ignorieren.
i=1
i=1
O.B.d.A. nehmen wir an, daß C i ∈ {A i , A c i} und nach eventueller Umnummerierung
C i = A c i für i = 1, ..., m und C i = A i für i = m + 1, ..., n ist.
1. Fall: m + 1 ≤ n
Mit A m =
n ⋂
j=m+1
A j gilt dann:
( n
) (
⋂
⋂ m
P C i = P A c j ∩
i=1
j=1
n⋂
j=m+1
( m
)
⋂
= P A c j ∩ A m
j=1
A j
)
(( m
) c )
⋃
= P A j ∩ A m
j=1
i=1
= P ( (
) m
))
⋃
A m − P
(A m ∩ A j
j=1
= P ( (
) ⋃ m
( ) )
A m − P Am ∩ A j
j=1