Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

8 2 WAHRSCHEINLICHKEITEN BEKANNTER ZUFALLSMECHANISMEN
b) {2, 4, 6} ⇒ Ws({2, 4, 6}) = 1 2
c) {1, 3, 5} ⇒ Ws({1, 3, 5}) = 1 2
d) {2} = {2, 4, 6} ∩ {1, 2, 3} ⇒ Ws({2}) = 1 6
2.2.2 Beispiel 2: Zwei Würfe
Betrachtet man zwei Würfe, so ist die Grundmenge Ω 2 gleich der Menge aller geordneten
Paare mit Einträgen aus {1, . . . , 6}: Ω 2 = {(i, j)|1 ≤ i, j ≤ 6} = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6)}.
Für die Wahrscheinlichkeit W s({(i, j)}) das Paar (i, j) zu würfeln gilt:
W s({(i, j)}) = 1
#Ω 2 = 1
36 .
Für A ⊂ Ω 2 ist W s(A) = #A
#Ω 2 = #A
36 .
1. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe zweier Würfe gleich k ist?
Sei A k := {Summe beider Würfe ist gleich k} = {(i, j) ∈ Ω 2 |i + j = k}.
W s(A 2 ) =
W s(A 3 ) =
W s(A 4 ) =
W s(A 5 ) =
W s(A 6 ) =
W s(A 7 ) =
W s(A 8 ) =
W s(A 9 ) =
W s(A 10 ) =
W s(A 11 ) =
W s(A 12 ) =
W s(A k ) =
#{(1, 1)}
= 1 36 36
#{(1, 2), (2, 1)}
= 2 36 36 = 1 18
#{(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
= 3 36
36 = 1 12
#{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
= 4 36
36 = 1 9
#{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
= 5 36
36
#{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
36
#{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
= 5 36
36
#{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
= 4 36
36 = 1 9
#{(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
= 3 36
36 = 1 12
#{(5, 6), (6, 5)}
= 2 36 36 = 1 18
#{(6, 6)}
= 1 36 36
6 − |k − 7|
36
= 6 36 = 1 6
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe zweier Würfe kleiner gleich 10