Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

40 5 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN UND UNABHÄNGIGKEIT
Erstmals im k-ten Wurf eine “6” zu werfen, bedeutet, in den vorangegangenen k−1 Würfen
keine “6” , dann aber eine “6” zu werfen. Folglich ist
( ) k−1 5
P (erstmals “6” im k-ten Wurf) = · 1
6 6 =: p k, k ≥ 1
Es muß natürlich ∑ k≥1
p k = 1 gelten, was man leicht mit Hilfe der geometrische Reihe
∞∑
k=1
( 5
) k−1
6 = 6 einsieht.
Gamblers Rules
Angenommen man spielt ein Spiel sehr oft hintereinander und dessen Gewinnchance ist
1/N. Wie oft muß man spielen, damit man mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit wenigstens
einmal gewinnt?
(
P (kein Gewinn in n Spielen) = 1 − 1 ) n
N
(
P (Gewinn in n Spielen) = 1 − 1 − 1 ) n
≥ 1 N 2
(
⇔ 1 − 1 ) n
≤ 1 N 2
(
⇔ n log 1 − 1 )
≤ log 1 N 2 .
Sei n ∗ = [log( 1) / log(1 − 1 )]; dabei ist [x] die kleinste ganze Zahl größer als x für x ∈ R.
2 N
Da log(1 + z) ∼ z für z → 0 gilt, ist die rechte Seite von n ∗ asymptotisch gleich
( ) /( )
1 −1
log
= N log 2, wobei log(2) ≈ 0, 69 ≈ 2/3.
2 N
Im Fall des Würfels benötigt man also
[ ( ) /( 1 5
n ∗ = log
= [3, 8] = 4
2 6)]
Würfe um mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit eine ”6“ zu werfen.
Beispiel: Fluß in einem Leiter
Angenommen für jeden von den Schaltern in dem folgenden Schaltkreis ist die Wahrscheinlichkeit,
daß der Schalter geschlossen ist p i und daß er offen ist q i = 1 − p i , i = 1, . . . , 5.
Man berechne die Wahrscheinlichkeit, daß ein Strom durch den Schaltkreis fließt unter
der Annahme, daß die Zustände der Schalter unabhängig sind.
P (Strom fließt) = P (Strom fließt oben entlang) + P (Strom fließt unten entlang)
−P (Strom fließt sowohl oben als auch unten entlang )
Dabei ist wegen der Unabhängigkeit P (Strom fließt oben) = p 1·p 2 , P (Strom fließt unten) =
p 3 · p 4 · p 5 und P (Strom fließt oben und unten) = p 1 · p 2 · p 3 · p 4 · p 5 und damit
P (Strom fließt ) = p 1 · p 2 + p 3 · p 4 · p 5 − p 1 · p 2 · p 3 · p 4 · p 5 .