Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

44 6 ZUFALLSVARIABLE UND IHRE VERTEILUNG
6.1.2 Beispiel
Wir betrachten die Summe der Augenzahlen zweier Würfelwürfe. Bei zwei Würfelwürfen
ist der Grundraum Ω 2 = {ω = (ω 1 , ω 2 )|ω i ∈ {1, . . . , 6}, i = 1, 2}. Wir können nun jedem
ω = (ω 1 , ω 2 ) ∈ Ω 2 eine reelle Zahl X(ω) = ω 1 + ω 2 zuordnen. Dann ist X eine Abbildung
von Ω 2 → R und damit eine Zufallsvariable.
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion und das Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω 2 gilt:
p(ω) = 1
#Ω 2
und P (A) = #A
#Ω 2
.
Die zu X gehörende Wahrscheinlichkeitsfunktion q : R → [0, 1] hat folgende Gestalt:
q(k) = P ({ω ∈ Ω 2 |X(ω) = k} = P ({ω = (ω 1 , ω 2 ) ∈ Ω 2 |ω 1 + ω 2 = k} = #{ω|ω 1+ω 2 =k}
#Ω 2
.
q(2) = #{ω|ω 1 + ω 2 = 2}
#Ω 2
=
q(3) = #{ω|ω 1 + ω 2 = 3}
#Ω 2
=
.
#{(1, 1)}
= 1 36 36
#{(1, 2), (2, 1)}
36
= 2 36
q(7) = . . . = 6 36
.
q(11) = #{ω|ω 1 + ω 2 = 11}
#Ω 2
=
q(12) = #{ω|ω 1 + ω 2 = 12}
#Ω 2
=
#{(5, 6), (6, 5)}
36
#{(6, 6)}
= 1 36 36
= 2 36
Sei A ⊂ R. Dann gilt für die Verteilung von X: Q(A) = ∑ k∈A
q(k). Sei beispielsweise
A = {k ∈ R|k ≤ 3}. So ist Q(A) = ∑ ∑
q(k) = 3 q(k) = 1 . 12
k≤3 k=2
Bemerkungen
1. Die Verteilung von X kann auch als Maß auf R angesehen werden. Man setzt
P X (A) := P X (A ∩ X(Ω)) = P ( X −1 (A) ) für A ⊂ R.
P X ist aber ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R. Denn
P X (R) = P X (X(Ω)) = P (Ω) = 1
und
( ∞
)
⋃
P X A i =
i=1
∞∑
P X (A i )
i=1