Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

60 7 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ VON VERTEILUNGEN
Beweis:
Setze in die Tschebychew-Ungleichung (Satz 7.5.1) X := X n ein. Dann gilt:
( )
P ( |X n − E(X n )| > ε ) ≤ Var ( n∑
n∑
)
1
1
Var X
X n i Var(X
n 2
1 )
n i=1
i=1
=
=
= 1 Var(X 1 )
.
ε 2 ε 2 ε 2 n ε 2
Damit gilt:
lim P ( |X n − E(X n )| > ε ) = lim P ( |X n − E(X 1 )| > ε ) 1 Var(X 1 )
≤ lim
= 0.
n→∞ n→∞ n→∞ n ε 2
7.5.3 Beispiel: Die p-Münze
Wir betrachten eine p-Münze, d. h. P (X i = 1) = p, P (X i = 0) = 1 − p. Damit ist
E(X i ) = p.
n∑
Die X i seien unabhängig und X n = 1 X
n i .
i=1
Die relative Häufigkeit der „1“ bei n Würfen konvergiert gegen p, X P n → E(X 1 ) = p. Das
ist aber genau die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen.
7.5.4 Anwendung (Wahlumfrage)
Vor einer Wahl werden n Personen befragt, { ob sie die Partei A wählen werden oder nicht
1 falls Person i A wählt
(Ja-Nein-Antworten). Dabei gelte X i =
.
0 sonst
und P (X i = 1) = p = 1 − P (X i = 0).
Schätze p mit Hilfe von X n .
Es gilt: E(X n ) = p, Var(X n ) = p(1−p) und X
n n → p.
7.6 Approximation stetiger Funktionen auf dem Intervall [0, 1]
durch Polynome
Auch hierfür kann man das Gesetz der großen Zahlen anwenden.
7.6.1 Satz
Sei f : [0, 1] → R, f stetig.
∑
Sei B n (p) := n f( k )( n
n k)
p k (1 − p) n−k . Dann gilt:
k=0
Die Folge von Funktionen (B n ) n∈N konvergiert gleichmäßig gegen f für n → ∞.
In Formeln: lim max |B
n→∞
n(p) − f(p)| = 0.
0≤p≤1