Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

22 4 GLEICHVERTEILUNGEN UND KOMBINATORIK
die zweite Person gibt es also noch ( )
2n−2
2 Möglichkeiten.
Führt man diesen Gedanken fort, so gibt es für die k-te Person ( )
2n+2−2k
2 Möglichkeiten
und für die letzte Person gibt es dann nur noch ( ) (
2n+2−2n
2 = 2
)
2 = 1 Möglichkeit.
Nach dem Kombinationsprinzip ist somit die Mächtigkeit des Grundraumes:
#Ω = ( )(
2n 2n−2
)( 2n−4
) (
2 2 2 . . . 2
2)
=
(2n)(2n−1) (2n−2)(2n−3)
. . . 1 = (2n)! .
2
2 2 n
⋃
Sei B n := {({a 1 , b 1 }, . . . , {a n , b n }) ∈ Ω|a i ∈ {1, . . . , n}, b i ∈ {n + 1, . . . , 2n}, n {a i , b i } =
A} ⊂ Ω das Ereignis, daß alle n Person zwei Kugeln mit unterschiedlichen Farben ziehen.
Dann ist die Mächtigkeit von B n : #B n = n · n · (n − 1) · (n − 1) · . . . · 1 = (n!) 2 .
Damit ist P (B n ) =
(n!)2 .
(2n)!/2 n
Für große n läßt sich die Wahrscheinlichkeit näherungsweise berechnen:
P (B n ) = (n!)2 2 n
∼ (2πn)n
(2n)! = 2n e
√ −2n·2n
4πn(2n)
= √ πn 1·2n = √ πn 1 .
2n e −2n 2 2n 2 n
Dabei haben wir die Stirling-Formel verwendet. Diese lautet n! ∼ √ 2πnn n e −n , das heißt
n!/ √ 2πnn n e −n → 1 für n → ∞.
i=1
4.4 Verteilungen, die aus Gleichverteilungen entstehen
In einer Urne seien N Kugeln. Davon seien W weiß und S schwarz, N = W + S. Es
werden n Kugeln gezogen. Was ist die Wahrscheinlichkeit r weiße Kugeln zu ziehen?
Die Menge der Kugeln in der Urne wird beschrieben durch A = {1, . . . , N}, oder genauer:
A = {1, . . . , W , W + 1, . . . , W + S}
} {{ } } {{ }
weiße
schwarze
{
1 falls i ∈ {1, . . . , W }
Wir definieren eine Funktion ϕ : A → {0, 1} durch: ϕ(i) :=
0 falls i ∈ {W + 1, . . . , W + S}
.
4.4.1 Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge
Sei (ε 1 , . . . , ε n ) eine 0-1-Folge der Länge n. Dann gilt:
P ({(a 1 , . . . , a n )|a i ∈ A, ϕ(a i ) = ε i , i = 1, . . . , n}) = W r S n−r
N n ,
∑
wobei r = n ε i die Anzahl der weißen gezogenen Kugeln ist.
i=1
Die Wahrscheinlichkeit “r (0 ≤ r ≤ n) weiße Kugeln zu ziehen” beträgt:
P (“r weiße”) = P ({(a 1 , . . . , a n )|
n∑
( )( ) r ( ) n−r n W S
ϕ(a i ) = r}) =
.
r N N
Das ist die Binomialverteilung mit n Beobachtungen und p = W N , kurz b(n; W N ).
i=1