Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

72 9 ERZEUGENDE FUNKTIONEN
Zu 3):
Lemma von Abel
∞∑
a
∑
Sei c n konvergente Reihe mit c n ∈ R dann konvergiert f(x) = ∞ c n x n
n=0
für x ∈ [0, 1] und f ist im Intervall [0, 1] stetig.
∑
Insbesondere: lim f(x) = f(1) = ∞ c n .
x↗1 n=0
a s. Forster Band 1,S.180
n=0
∑
Da EX = ∞ kP (X = k) < ∞, liefert das Lemma von Abel, angewandt auf
k=1
f X ′ (z) = ∑ ∞ kP (X = k)z k−1 , die Behauptung:
k=1
f X ′ (1) = lim f X ′ (z) = lim ( ∑ ∞ ∑
kP (X = k)z k−1 ) = ∞ kP (X = k) = E(X).
z↗1 z↗1 k=1
k=1
Zu 4): EX 2 < ∞ ⇒ E(X) < ∞. Wende das Lemma von Abel auf f X ′′ an:
f X ′′ (z) = d ( ∑ ∞ ∑
P (X = k)kz k−1 ) = ∞ P (X = k)k(k − 1)z k−2
dz
k=1
k=2
(Terme mit k = 0 und k = 1 verschwinden).
∞∑
f X ′′ (1) = lim X (z) = lim P (X = k)k(k − 1)z k−2
Abel
{}}{
= ∞ ∑
k=2
z↗1 f ′′
z↗1 k=2
P (X = k)(k 2 − k) = E(X 2 ) − E(X).
9.1.3 Satz
Seien X und Y unabhängige Zufallsgrößen mit Werten in N ∪ {0}.
Dann gilt: f X+Y (z) = f X (z)f Y (z).
Beweis: Zu Satz 9.1.3:
f X+Y (z) = E(z (X+Y ) ) = E(z X z Y )
= ∑ ω∈Ω
z X(ω) z Y (ω) p(ω)
Trafosatz
{}}{
= ∑ k,l
z k z l P (X = k, Y = l)
= ∑ k,l
z k z l P (X = k)P (Y = l)
= ( ∑ k
z k P (X = k))( ∑ l
z l P (Y = l))
= f X (z)f Y (z)