Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

1.3 Bemerkungen zu Gewinnchancen und Gewinnquoten 3
1.3 Bemerkungen zu Gewinnchancen und Gewinnquoten bei Casino-
Spielen und anderen Wetten
Wir betrachen ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen E und NE und nehmen an,
daß W s(E) = p und W s(NE) = 1 − p ist. Was ist eine faire Gewinnquote G bei einer
Wette auf Eintreten von E bei einem Einsatz von einer Geldeinheit? Die Antwort lautet
oder anschaulicher ausgedrückt
G = 1 − p
p
1
G =
p
1 − p .
Dies heißt Einsatz und Gewinn stehen im selben Verhältnis zueinander wie die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten. Betrachten wir z.B. die Wette auf eine bestimmte Zahl, z.B. 13 bei
einem Roulette mit 37 möglichen Ausgängen, d.h. mit nur einer 0. Das Casino bietet dafür
üblicherweise als Gewinnquoten 35 zu 1. Fair wäre aber 36 zu 1. Der Abschlag von 1 ist 37
die Gewinnmarge des Casinos (im Englischen house percentage). Allgemein läßt sich die
Gewinnmarge pro Geldeinheit Einsatz als
1 − W s(E)(G + 1)
angeben. Dabei ist (G + 1) die Zahlung des Casinos, wenn das Ereignis E eintritt. Das
Casino zahlt Gewinn plus Einsatz aus.
Ähnlich ist es auch bei Fußballwetten wie jenen von ODDSET oder bwin. Bei diesen Wetten
sind die Erfolgswahrscheinlichkeiten im Vorhinein aber nicht exakt bekannt, sondern
werden durch den Wettanbieter meist aus Vergangenheitswerten geschätzt. Entsprechend
höher sind auch deren Gewinnmargen (oder besser Sicherheitsspannen). Betrachten wir
eine ODDSET-Wette aus dem Jahr 2004 für das 2. Ligaspiel TSV 1860 gegen KSC. Die
Quoten lauteten:
bei Heimsieg(1) : 1,6
bei Unentschieden (0) : 3
bei Niederlage (2) : 4.
Dies sind im Grunde drei Wetten auf drei Ereignisse, die eng miteinander verbunden sind.
Die Auszahlung ist z.B. bei Unentschieden 3, d.h. der ausgezahlte Gewinn ist 2. Bei diesen
Wetten ist der Einsatz in den Quoten enthalten. Aus den Quoten, nennen wir sie Q i für
i = 0, 1, 2, läßt sich auf die zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeiten schließen.
Sei p i = 1 Q i
. Dann ist
oder anders geschrieben
1 = Q i · p i = (G i + 1)p i
1 − p i
p i
= G i .
Das heißt, legt man eine faire Wette zugrunde, so erhält man aus Q i (bzw. G i ) die von
den Wettanbietern zugrundegelegten Wahrscheinlichkeiten p i . Dies gilt für alle i = 0, 1, 2.
Nun gilt aber in unserem Beispiel
p 1 = 10
16 , p 0 = 1 3 , p 2 = 1 4