Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

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5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
5.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit: Definition und Folgerungen
5.1.1 Beispiel:
Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Die Ergebnismenge ist Ω = {0, 1}×{0, 1}×{0, 1}.
Dabei steht 1 für Zahl und 0 für Wappen. Sei B das Ergebnis “mindestens zweimal Zahl”:
B = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Für die faire Münze ist
P (B) = |B| · 2 −3 = 4 8 = 1 2 .
Angenommen wir wissen bereits, daß der erste Wurf “Zahl”, d.h. “1” ergab, wie ändert
sich die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis von B? Wir wissen also, daß das Ereignis
A = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} auf alle Fälle eintritt. Daher kann nur noch ein
Elementarereignis von A eintreten, d.h. A ist der neue Grundraum. Da alle Elementarereignisse
gleichwahrscheinlich sind, hat man
|A ∩ B|
|A|
= 3 4 .
Dabei ist
|A ∩ B|/|Ω|
|B|/|Ω|
=
P (A ∩ B)
.
P (B)
5.1.2 Definition (Bedingte Wahrscheinlichkeit)
Für A, B ⊂ Ω mit P (A) > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A definiert
als
P (A ∩ B)
P (B|A) = .
P (A)
Bemerkung: Die Sprechweise „gegeben A“ in der Definition bedeutet, man weiß, daß A
eingetreten ist.
5.1.3 Folgerungen
(1) P (·|A) ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf P(Ω) mit P (B|A) = 1 für B ⊃ A und P (C|A) =
0 für C ⊂ A c .
(2) P (B)P (A|B) = P (A ∩ B) = P (A)P (B|A).
(3) Seien A 1 , A 2 , . . . , A k ⊂ Ω mit P (A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A k ) > 0. Dann gilt:
P (A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A k ) = P (A 1 )P (A 2 |A 1 )P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) . . . P (A k |A 1 ∩ . . . ∩ A k−1 ).