Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

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6 Zufallsvariable und ihre Verteilung
6.1 Zufallsvariable, Verteilung einer Zufallsvariable
6.1.1 Definition (Verteilung)
Sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung X : Ω →
R. Durch q(x) := P {ω|X(ω) = x} wird eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf X(Ω) ⊂ R
definiert. Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß Q : P(X(Ω)) → [0, 1], Q(A) = ∑ x∈A
q(x)
heißt Verteilung von X. Man schreibt auch P X für Q.
Sei p(x) = P ({x}) die Wahrscheinlichkeitsfunktion von P . Für x ∈ X(Ω) ist im obigen
Bild q(x) = p(w 1 ) + p(w 2 ) + p(w 3 ).
q ist Wahrscheinlichkeitsfunktion, da
∑
x∈X(Ω)
q(x) =
∑
x∈X(Ω)
= ∑
x∈X(Ω)
P ({ω|X(ω) = x})
∑
ω|X(ω)=x
= ∑ ω∈Ω
p(ω) = 1.
p(ω)
Für A ⊂ X(Ω) ist
Q(A) = ∑ q(x)
x∈A
= ∑ P ({ω|X(ω) = x})
x∈A
= P ({ω|X(ω) ∈ A})
= P ( X −1 (A) ) .