Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

102 11 WAHRSCHEINLICHKEITSMAßE MIT DICHTEN
11.6.2 Empirischer Mittelwert und empirische Varianzen bei der Normalverteilung
Seien X 1 , ..., X n unabhängig nach N(µ, σ 2 ) verteilt und T n := 1 n
n∑
(X i − µ) 2 .
Dann ist ET n =
(
σ 2 und n T
σ 2 n ist
)
χ 2 n-verteilt.
n∑
n∑
1
Denn: ET n = E (X
n i − µ) 2 = 1 E((X
n
i − µ) 2 ) = 1 nVar(X n 1) = σ 2
i=1
i=1
n∑
∑
und n T
σ 2 n = 1 (X
σ 2 i − µ) 2 = n ( X i−µ
) 2 .
σ
Seien X n = 1 n
i=1
n∑
i=1
Denn: EX n = E
(
und ESn 2 = E
n∑
= 1 (σ 2 − 2 n−1
n
i=1
i=1
X i und S 2 n = 1
n−1
(
1
n
1
n−1
n∑
j=1
i=1
n∑
(X i − X n ) 2 . Dann gilt: EX n = µ und ESn 2 = σ 2 .
i=1
)
n∑
n∑
X i = 1 E(X
n
i ) = 1 nE(X n 1) = µ
i=1
i=1 )
n∑
n∑
(X i − X n ) 2 = 1 E[((X i − µ) − (X n − µ)) 2 ]
i=1
n−1
i=1
E[(X i − µ)(X j − µ)] + σ2 ) = 1 n−1
nσ2 = n n−1 n σ2 .
11.6.3 Wie ist S 2 n = 1
n−1
n∑
(X i − X n ) 2 verteilt?
i=1
Um die Verteilung von S 2 n zu berechnen brauchen wir folgende Lemmata:
Lemma 1
Die Zufallsvariable X n ist unabhängig von (X 1 − X n , ..., X n − X n ).
Lemma 2
X n und S 2 n sind unabhängig.
Beweis:
S 2 n ist eine Funktion von (X 1 − X n , ..., X n − X n ) und folglich unabhängig von X n .
Lemma 3
n
(X
σ 2 n − µ) 2 ist χ 2 1-verteilt.