Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

104 11 WAHRSCHEINLICHKEITSMAßE MIT DICHTEN
11.7.3 Satz
Die t-Verteilung mit n Freiheitsgraden hat die Dichte
f n (z) =
n+1
Γ( ) 2
√ πnΓ(
n
2
z2 n+1
+ )− 2 .
)(1 n
Beweis:
Sei U = X √ n. Dann ist U nach N(0, n) verteilt und V χ 2 n-verteilt. Weiter gilt wegen der
Unabhängigkeit von U und V
P (U/ √ V ≤ α) =
mit z := u √ v
und folglich
∫
{(u,v)|u/ √ v≤α}
f(u)g(v)dudv =
∫ α
0
(∫
f(z √ v)g(v) √ )
vdv dz
} {{ }
h(z)
h(z) = 1 √
2πn
1
=
∫∞
2 n/2 Γ( n) 2
0
0
e − vz2
2n
v
n
2 −1 e −v/2√ v dv
∫∞
1
√
2πn2
n/2
Γ( n) v n+1
2 −1 e − v 2 (1+ z2 n ) dv
2
= 2 n+1
2 (1+ z2 n+1
)− 2
n Γ( n+1)
2
√
2πn2
n/2
Γ( n)
2
= Γ ( )
n+1
) −
n+1
2
√ (
πnΓ
n
)
(1 + z2 2
.
n
2
Bemerkung: Sei F n die Verteilungsfunktion der t-Verteilung. Dann gilt: F n (z) → Φ(z)
für n → ∞ und f n (z) → ϕ(z) = √ 1
2π
e −z2 /2 für n → ∞, denn (1 + z2 n+1
)− 2 → e −z2 /2 , da
n
(1 + x n )n → e x , falls n → ∞.