Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

14 3 GRUNDBEGRIFFE
3.1.4 Beispiele
1. Würfel: Ω = {1, 2, . . . , 6}, p(ω) = 1 6 .
2. Fairer Münzenwurf: Ω n = {ω = (ω 1 , . . . , ω n )|ω i ∈ {0, 1}, i = 1, ..., n}, p(ω) = 1
2 n .
3. Gleichverteilung: Ω endlich, p(ω) = 1
#Ω .
4. Binomialverteilung: Ω = {0, 1, . . . , n} und 0 < p < 1,
p(ω) = ( n
ω)
p ω (1 − p) n−ω .
5. Poisson-Verteilung: Ω = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}, λ > 0.
p(ω) = λω
ω! e−λ , ∑ p(ω) = 1, denn ∑
ω∈Ω
ω
p(ω) = e −λ
∞ ∑
ω=0
λ ω
ω!
= e −λ e λ = 1.
6. Empirische Verteilung beim Würfel: Ω = {1, . . . , 6}.
Ein Würfel werde n-mal geworfen. n ω sei die Anzahl der Würfe mit Ergebnis ω.
6∑
Dann ist n ω = n. p(ω) = nω , 6∑
p(ω) = 1, p selbst ist hierbei zufällig.
n
ω=1
ω=1
3.1.5 Folgerungen aus der Definition:
(1) P (∅) = 0,
⋃
(2) P ( n ∑
A i ) = n P (A i ) für A i disjunkt,
i=1
i=1
⋃
(3) P ( ∞ ∑
A i ) ≤ ∞ P (A i ) für beliebige A i ⊂ Ω,
i=1
i=1
⋃
(4) P ( n ∑
A i ) ≤ n P (A i ) für beliebige A i ⊂ Ω,
i=1
i=1
(5) P (A c ) = 1 − P (A),
(6) P (A) ≤ P (B) falls A ⊂ B,
(7) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
∑
(8) P (A 1 ∪ . . . ∪ A n ) = n ∑
(−1) k−1 P (A i1 ∩ . . . ∩ A ik ).
k=1 {i 1 ,...,i k }∈P k
Dabei ist P k die Menge aller k-elementigen Teilmengen der Menge {1, . . . , n}.
(9) Sei A n ⊂ Ω, A n ⊂ A n+1 für n ≥ 1 und A = ∞ ⋃
(10) Sei A n ⊂ Ω, A n ⊃ A n+1 für n ≥ 1 und A = ∞ ⋂
i=1
n=1
A i . Dann gilt P (A) = lim
n→∞
P (A n ).
A n . Dann gilt P (A) = lim
n→∞
P (A n ).