Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

7.3 Varianz und Kovarianz 55
Antworten:
1) P (T < ∞) = 1.
2) E(T ) = ∞.
Beweis: später !!
7.3 Varianz und Kovarianz
7.3.1 Definition (Varianz, Standardabweichung)
X sei eine Zufallsvariable auf (Ω, P ) mit E(X 2 ) < ∞.
Dann heißt Var(X) = E(X − E(X)) 2 Varianz von X
und σ(X) = √ Var(X) Standardabweichung von X.
7.3.2 Bemerkungen:
(1) Beide Größen sind Maßzahlen für die Streubreite der Verteilung von X um E(X)
herum.
(2) Durch die Forderung E(X 2 ) < ∞ ist die Varianz wohldefiniert, denn es gilt:
|X| ≤ 1 + X 2 ⇒ E|X| ≤ 1 + E(X 2 ) < ∞ ⇒ |E(X)| < ∞.
(3) Var(X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2 , denn:
Setze µ = E(X). Dann ist Var(X) = E(X − µ) 2 = E(X 2 − 2Xµ + µ 2 )
= E(X 2 ) − 2µE(X) + µ 2 = E(X 2 ) − 2µ 2 + µ 2 = E(X 2 ) − µ 2 .
(4) Es gilt 0 ≤ Var(X) < ∞, denn wegen (3) ist
0 ≤ Var(X) = E(X − µ) 2 = EX 2 − (EX) 2 ≤ EX 2 ≤ ∞
(5) Var(aX + b) = a 2 Var(X), denn:
Var(aX + b) = E(aX + b − E(aX + b)) 2
= E(aX − E(aX)) 2
= E(a(X − E(X))) 2
= a 2 E(X − E(X)) 2
= a 2 Var(X).
7.3.3 Definition (Kovarianz, Korrelationskoeffizient)
X und Y seien Zufallsvariablen mit Var(X) < ∞ und Var(Y ) < ∞.
Dann heißt
Kov(X, Y ) := E(XY − E(X)E(Y ))
Kovarianz von X und Y
und
Kor(X, Y ) := Kov(X, Y )
σ(X)σ(Y )
heißt Korrelationskoeffizient von X und Y .