Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

20 4 GLEICHVERTEILUNGEN UND KOMBINATORIK
4.3 Urnen- und Schachtelmodelle
4.3.1 Das Urnenmodell
In einer Urne seien N nummerierte Kugeln. Man zieht n-mal aus der Urne eine Kugel. Man
kann mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge ziehen.
Folgende vier Fälle werden unterschieden:
1) Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
2) Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
3) Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
4) Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
4.3.2 Das Schachtelmodell
Ein komplementäres Modell ist das Schachtelmodell.
Es werden n Kugeln auf N nummerierte Schachteln verteilt. Man kann nun Mehrfachbelegungen
der Schachteln zulassen oder nicht und man kann die Kugeln nummerieren oder
nicht. Auch hier gibt es vier Möglichkeiten:
1) Verteilung mit Mehrfachbesetzung und mit Nummerierung.
2) Verteilung mit Mehrfachbesetzung und ohne Nummerierung.
3) Verteilung ohne Mehrfachbesetzung und mit Nummerierung.
4) Verteilung ohne Mehrfachbesetzung und ohne Nummerierung.
4.3.3 Zusammenhang zwischen Urnenmodell und Schachtelmodell
Zwischen dem Urnenmodell und dem Schachtelmodell besteht ein ganz enger Zusammenhang.
Die Fragen: „Wie viele Möglichkeiten gibt es n Kugeln aus einer Urne mit N Kugeln
zu ziehen?“ und „Wie viele Möglichkeiten gibt es n Kugeln auf N Schachteln zu verteilen?“
sind äquivalent. Dabei ist das Zurücklegen in die Urne äquivalent zur Mehrfachbesetzung
der Schachteln und das Beachten der Reihenfolge ist äquivalent zur Angabe der Schachtelnummern,
in die die Kugeln fallen.
So gibt es zum Beispiel genau so viele Möglichkeiten 3 Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln
ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen wie es Möglichkeiten gibt
3 nummerierte Kugeln auf 8 Schachteln zu verteilen.
4.3.4 Anzahl der Elemente der Grundräume
Hier ist eine Übersicht, wie man die Anzahl der möglichen Fälle berechnet. Dabei bedeutet
[N] n := (n+N−1)! = N(N + 1) . . . (N + n − 1) die ober Faktorielle und
(N−1)!
[N] n := N! = N(N − 1) . . . (N − n + 1) die unter Faktorielle.
(N−n)!