EinfÃ¼hrung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung fÃ¼r ...

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70 8 SATZ VON DE MOIVRE-LAPLACE Der Beweis wird hier nicht gegeben. Es soll aber daraufhingewiesen werden, daß z.B. für unabhängige Poission-Variable X 1 , . . . , X n mit E(X 1 ) = λ gilt ( lim P a ≤ S ) n − nλ √ ≤ b = Φ(b) − Φ(a). n→∞ nλ
71 9 Erzeugende Funktionen 9.1 Definition und Eigenschaften erzeugender Funktionen 9.1.1 Definition (erzeugende Funktion) Sei X Zufallsgröße mit Werten in N ∪ {0}. Dann heißt ∑ f X (z) = ∞ P (X = n)z n , −1 ≤ z ≤ 1, n=0 die erzeugende Funktion der Verteilung von X. Bemerkung: 1) f X (z) ist für |z| ≤ 1 wohldefiniert, da P (X = n)|z n | ≤ P (X = n) für |z| ≤ 1 und ∞ ∑ 2) Es gilt: Ez X = ∑ ω Trafosatz p(ω)z X(ω) {}}{ = n=0 P (X = n) = 1 gilt. ∞∑ P (X = n)z n = f X (z). 3) f X legt die Verteilung von X eindeutig fest (siehe Satz 9.1.2), die Verteilung von X legt f X eindeutig fest. n=0 9.1.2 Satz Es gilt: 1) a) f X (0) = P (X = 0), b) f X (1) = 1, c) P (X = n) = f (n) X (0) . n! 2) f X (z) ist für 0 ≤ z ≤ 1 monoton wachsend (f ′ (z) ≥ 0) und konvex (f ′′ (z) ≥ 0). 3) Falls E(X) < ∞ ist, gilt f X ′ (1) = lim f X ′ (z) = E(X). z↗1 4) Falls E(X 2 ) < ∞ ist, gilt f X ′′ (1) = lim f X ′′ (z) = z↗1 E(X2 ) − E(X) Beweis: Zu 1): Nachrechnen. Zu 2): Gliedweises differenzieren liefert für 0 ≤ z < 1 f ′ (z) ≥ 0, f ′′ (z) ≥ 0.
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Einführung in die Stochastik Prof.
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INHALTSVERZEICHNIS iii 7 Erwartungs
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1 1 Einführung 1.1 Was ist Stochas
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1.3 Bemerkungen zu Gewinnchancen un
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1.4 Geschichtliches 5 1.4 Geschicht
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7 2 Wahrscheinlichkeiten bekannter
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2.2 Beispiele mit dem Würfel 9 ist
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2.4 Das Münzwurfmodell 11 2.4 Das
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13 3 Grundbegriffe 3.1 Diskreter Wa
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3.1 Diskreter Wahrscheinlichkeitsra
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3.1 Diskreter Wahrscheinlichkeitsra
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Seite 25 und 26: 4.3 Urnen- und Schachtelmodelle 21
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Seite 33 und 34: 29 5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Seite 35 und 36: 5.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit: De
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Seite 89 und 90: 10.3 Absorbierende Zustände 85 Sei
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