Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

2.4 Das Münzwurfmodell 11
2.4 Das Münzwurfmodell
2.4.1 Die p-Münze
Die möglichen Ergebnisse bei einem Münzwurf sind „Zahl“ und „Wappen“ bzw. „1“ und
„0“. Die Grungmenge ist also Ω = {0, 1}. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl ist W s(1) = p,
die Wahrscheinlichkeit für Wappen ist W s(0) = 1 − p (Modell einer p-Münze).
Ist p = 1 , so sprechen wir vom fairen Münzwurf.
2
Warum ist die Annahme p ≠ 1 2 sinnvoll?
Drei Beispiele dazu:
a) Würfel
1, falls Ergebnis beim Würfel = 6: W s(1) = 1 6 ,
0, falls Ergebnis beim Würfel ≠ 6: W s(0) = 5 6 .
In diesem Fall ist p = 1 6 .
b) Wahlumfrage
1, falls Ja zur CDU: W s(1) = 0, 46,
0, falls Nein zur CDU: W s(0) = 0, 54.
In diesem Fall ist p = 0, 46.
c) Roulette
1, falls Ergebnis „Rot“: W s(1) = 18
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0, falls Ergebnis „nicht Rot“ (also „Schwarz oder Zéro“): W s(0) = 19
In diesem Fall ist p = 18.
37
Wie einen Würfel kann man auch eine p-Münze mehrfach werfen:
37 .
2.4.2 Zwei Würfe
Hier ist die Grundmenge Ω 2 = {(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}.
W s((1, 1)) = p 2 , W s((1, 0)) = p(1 − p),
W s((0, 1)) = (1 − p)p, W s((0, 0)) = (1 − p) 2 .
Die Wahrscheinlichkeit in zwei Würfen genau eine 1 zu werfen ist:
W s(in zwei Würfen genau eine 1) = W s((1, 0)) + W s((0, 1)) = 2p(1 − p).
2.4.3 n Münzwürfe
Beispiel n = 5
W s({(1, 1, 0, 0, 1)}) = W s(1)W s(1)W s(0)W s(0)W s(1) = p 3 (1 − p) 2
Allgemein: Die Grundmenge ist Ω n = {(e 1 , . . . , e n )|e i ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n}.
Sei (α 1 , . . . , α n ) eine gegebene 0-1-Folge der Länge n. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit,
daß mit n Würfen genau die Folge (α 1 , . . . , α n ) geworfen wird:
nP
α i
W s((α 1 , . . . , α n )) = pi=1
(1 − p) n− P n α i ∑
i=1 = p k (1 − p) n−k mit k = n α i ,
k= Anzahl der „1“ in der Folge (α 1 , . . . , α n ).
i=1