Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

7.2 Beispiele von Erwartungswerten 53
Beweis:
zu a) E(f(X)) = ∑ ω∈Ω
f(X(ω))p(ω)
=
=
=
=
∞∑
∑
i=1 {ω|X(ω)=x i }
∞∑
f(x i )
i=1
f(X(ω))p(ω)
∑
{ω|X(ω)=x i }
p(ω)
∞∑
f(x i )P ({ω|X(ω) = x i })
i=1
∞∑
f(x i )q(x i )
i=1
zu b) Der Beweis geht entsprechend wie a).
7.2 Beispiele von Erwartungswerten
7.2.1 Binomial-Verteilung
Seien X 1 , ..., X n Zufallsvariablen mit P (X i = 1) = p i = 1 − P (X i = 0) für i = 1, ..., n.
Dann gilt : E(X i ) = 1 · P (X i = 1) + 0 · P (X i = 0) = p i .
∑
Außerdem gilt: E(X 1 + X 2 + ... + X n ) = E(X 1 ) + ... + E(X n ) = n p i .
Gilt p i = p für i = 1, ..., n, so liegt die Binomial-Verteilung vor. Für den Erwartungswert
der Binomial-Verteilung gilt: E(X 1 + ... + X n ) = np.
Auf dasselbe Ergebnis kommt man auch mit Hilfe von Satz 7.1.6:
P (X = k) = q(k) = ( n
k)
p k (1 − p) n−k . Also gilt:
(*) ( n
k
)
=
n
k
E(X) =
( n−1
)
k−1
=
n∑
k=0
n∑
k=1
( n
k p
k)
k (1 − p) n−k
( n
k p
k)
k (1 − p) n−k
(∗)
{}}{
n∑
( ) n − 1
= n p k (1 − p) n−k
k − 1
k=1
n∑
( ) n − 1
= np
p k−1 (1 − p) n−k
k − 1
k=1
∑n−1
( ) n − 1
= np
p l (1 − p) (n−1)−l
l
l=0
} {{ }
= np.
=1
i=1
(binomische Formel)