Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

100 11 WAHRSCHEINLICHKEITSMAßE MIT DICHTEN
Folglich ist P (N t = n) = (λt)n
n!
e −λt .
= (λt)n e −λt .
n!
11.5 Momenterzeugende Funktionen
In Analogie zu Kapitel 9 definiert man für Verteilungen mit Dichten die sogenannte momenterzeugenden
Funktionen (MEF). Ist X Zufallsvariable mit Dichte f, so ist M X (t) =
Ee tX = ∫ e tx f(x)dx die MEF der Verteilung von X.
Für die MEFs gelten entsprechende Ausssagen wie für die erzeugende Funktionen von
Kaptitel 9:
a) Eindeutigkeit,
b) Faltungseigenschaft (M X+Y (t) = M X (t)M Y (t)) bei Unabhängigkeit,
c) Berechnung von Momenten.
11.5.1 Beispiel: Die MEF von N(µ, σ 2 )
Es gilt
M(t) =
1
√
2πσ
2
∫ ∞
−∞
e tx e −(x−µ)2 /2σ 2 dx = e tµ+ 1 2 σ2 t 2· 1
√
2πσ
2
∫ ∞
−∞
e −(x−(µ+σ2 t)) 2 /2σ 2 dx = e tµ+ 1 2 σ2 t 2 .
11.5.2 Beispiel zur Faltung
Sei X nach N(µ 1 , σ 2 1) und Y nach N(µ 2 , σ 2 2) verteilt. Außerdem seien X und Y unabhängig.
Dann gilt für die MEF von X + Y :
M X+Y (t) = Ee tX Ee tY = e tµ 1+ 1 2 σ2 1 t2 e tµ 2+ 1 2 σ2 2 t2 = e t(µ 1+µ 2 )+ 1 2 (σ2 1 +σ2 2 )t2 .
Dies ist die MEF von N(µ 1 +µ 2 , σ 2 1 +σ 2 2), d.h. X +Y ist nach N(µ 1 +µ 2 , σ 2 1 +σ 2 2) verteilt.
11.5.3 Die MEF der Gammaverteilung
Es gilt Γ(α) =
∞∫
0
x α−1 e −x dx und damit
M(t) =
βα
Γ(α)
= βα
Γ(α)
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e tx x α−1 e −βx dx
e −(β−t)x x α−1 dx