Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

6.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 45
für A i ⊂ R, paarweise disjunkt. Denn:
( ∞
) ( (
⋃
∞
))
⋃
P X A i = P X −1 A i
i=1
i=1
( ∞
)
⋃
= P X −1 (A i )
=
=
i=1
∞∑
P (X −1 (A i ))
i=1
∞∑
P X (A i ).
i=1
2. Sei eine Wahrscheinlichkeitsfunktion p auf einer diskreten Teilmenge W =
{x 1 , x 2 , . . .} ⊂ R gegeben. Durch X : W → R mit X(x i ) := x i wird eine Zufallsvariable
auf W erklärt, deren Verteilung P X die Wahrscheinlichkeitsfunktion p
hat. Denn:
q(x i ) = P X ({x i }) = P ({z ∈ W |X(z) = x i }) = p(x i ).
3. Wegen 2) spricht man von einer Verteilung, wenn eine Wahrscheinlichkeitsfunktion
p auf einer diskreten Teilmenge von R gegeben wird.
6.1.3 Beispiele von Verteilungen
1) Binomial-Verteilung b(n, p)
b(n, p; k) = ( n
k)
p k (1 − p) n−k definiert eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf {0, 1, ..., n}.
2) Bernoulliverteilung b(1, p)
b(1, p; k) = p k (1 − p) 1−k für k ∈ {0, 1}.
Die Bernoulliverteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für n = 1.
3) Poisson-Verteilung pois(λ)
pois(λ; k) = λk
k! e−λ ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf N ∪ {0}.
4) Pascal-Verteilung pasc(r, p)
pasc(r, p; n) = ( n−1
r−1)
p r (1 − p) n−r für n ∈ {r, r + 1, r + 2, ...}, r ∈ N.
5) Geometrische Verteilung
Speziell: Für r = 1 ergibt sich pasc(1, p; n) = p(1 − p) n−1 .
6.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
6.2.1 Definition (Unabhängigkeit von Zufallsvariablen)
X 1 , X 2 , ..., X n seien Zufallsvariablen auf (Ω, P ) und
X i (Ω) sei der Wertebereich von X i für i = 1, ..., n.