Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

3.1 Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum 15
Beweis:
Zu (1): P (∅) = P (∪ n∈N ∅) = ∑ n∈N
P (∅). Da P (∅) ∈ [0, 1], folgt P (∅) = 0.
Zu (2): Seien A 1 , . . . , A n ⊂ Ω disjunkt. Setze A i = ∅ für i > n. Dann ist:
⋃
P ( n ⋃
A i ) = P ( ∞ Definition
{}}{ ∞∑ ∑
A i ) = P (A i ) = n ∑
P (A i ) +
∞ (1)
{}}{ ∑
P (∅) = n P (A i ).
i=1
i=1
i=1
i=1
i=n+1
Zu (4): (4) ist ein Spezialfall von (3). Setze in (3) A i = ∅ für i > n. Dann ist:
⋃
P ( n ⋃
A i ) = P ( n ⋃
A i ) + P (∅) = P ( n ⋃
A i ) + P ( ∞
i=1
∑
= n P (A i ) +
i=1
i=1
∞ ∑
i=n+1
(1)
i=1
{}}{ ∑
P (∅) = n P (A i ).
i=1
i=n+1
i=1
i=1
(3)
⋃
A i ) = P ( ∞ {}}{
A i ) ≤
∞ ∑
i=1
P (A i )
Zu (5): P (A)+P (A c ) = P (A∪A c ) = P (Ω) = 1. Subtraktion von P (A) auf beiden Seiten
ergibt die Behauptung P (A c ) = 1 − P (A).
Zu (6): Sei A ⊂ B. Dann ist B = A ∪ (A c ∩ B), A und A c ∩ B sind disjunkt. Also gilt
nach (2): P(B) = P (A) + P (A c ∩ B) ≥ P (A).
Zu (7): Für A und B gilt: B = (A ∩ B) ∪ (A c ∩ B) und die Mengen A ∩ B und A c ∩ B
sind disjunkt. Also ist P (B) = P (A ∩ B) + P (A c ∩ B) und damit:
(∗) P (A c ∩ B) = P (B) − P (A ∩ B).
Abbildung 1: A c ∩ B
Daraus folgt: P (A ∪ B) = P (A) + P (A c {}}{
∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
(∗)
Etwas allgemeiner:
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).
Zu (8) :
Wir schreiben die Aussage wie folgt um:
( ⋃ n
P A i ) =
i=1
∑
I⊂{1,...,n}
)
(−1) |I|−1 P
(A I
Dabei ist A I := ⋂ i∈I A i und I bezeichnet eine nichtleere Teilmenge von {1, . . . , n}.