Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

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3 Grundbegriffe
3.1 Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
3.1.1 Definition (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)
Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) besteht aus einer höchstens abzählbaren
Menge Ω und einer Abbildung P : P(Ω) → [0, 1] mit den folgenden Eigenschaften:
a) P (Ω) = 1
⋃
b) P ( ∞ ∑
A i ) = ∞ P (A i ) für jede Folge A i (A i ⊂ Ω, i = 1, 2, . . .) mit A i ∩A j = ∅ für i ≠ j.
i=1
i=1
Bemerkung
Die Abbildung P : P(Ω) → [0, 1] heißt diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß. Ω heißt Grundraum.
P (A) heißt Wahrscheinlichkeit von A. P(Ω) bezeichnet die Potenzmenge von Ω.
3.1.2 Definition (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
Sei Ω eine nichtleere höchstens abzählbar Menge. Eine Abbildung p : Ω → [0, 1] heißt
Wahrscheinlichkeitsfunktion, falls ∑ ω∈Ω
p(ω) = 1.
3.1.3 Satz 1 (Zusammenhang zwischen Ws-Maß und Ws-Funktion)
1. Sei p eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω und A ⊂ Ω.
Durch P (A) := ∑ ω∈A
p(ω) wird ein Ws-Maß definiert.
2. Sei P ein Ws-Maß.
Durch p : Ω → [0, 1], p(ω) := P ({ω}) wird eine Wahrscheinlichkeitsfunktion erklärt.
Der Satz besagt: Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsfunktion stehen in eineindeutiger
Beziehung zueinander.
Beweis:
Zu (1): Es sind die Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes nachzuweisen.
a) P (Ω) = ∑ Definition
{}}{
p(ω) = 1.
ω∈Ω
b) Seien A i ⊂ Ω, i ≥ 1 disjunkt. Dann ist:
⋃
P ( ∞ A i ) =
∑ Reihenumordnungssatz
{}}{ ∞∑ ∑ ∑
p(ω) =
p(ω) = ∞ P (A
i=1 ω∈ S i ).
A i i=1 ω∈A i i=1
Zu
∑
(2): Es ist die Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsfunktion nachzuprüfen.
p(ω) = ∑ P ({ω}) = P ( ⋃ {ω}) = P (Ω) = 1.
ω∈Ω ω∈Ω
ω∈Ω