Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

32 5 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN UND UNABHÄNGIGKEIT
Darstellung von S(l) durch h(l):
Es gilt: S(l) = l−1 ∏
(1 − h(i)). Das ergibt sich aus der Anwendung der Folgerung (3):
i=1
S(l) = P (T ≥ l) = l−1 ∏
i=1
P (T ≥ i + 1|T ≥ i) = l−1 ∏
i=1
S(i+1)
S(i)
∏
(1 − h(i)).
= l−1
i=1
Beispiel:
Wir nehmen folgendes an: Die Wahrscheinlichkeit im Alter i zu sterben gegeben man hat
das Alter i bereits erreicht, sei für alle i gleich p. In Formeln: h(i) = p für alle i.
Dann ist S(l) = (1 − p) l−1 und
P (T =k)
p(k) = P (T = k) = · P (T ≥ k) = h(k)S(k) = p(1 − P (T ≥k) p)k−1 für k ∈ N.
Dies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung.
Beispiel: Sterbetafel von Breslau nach Halley (1693)
Überlebenswahrscheinlichkeit berechnet nach der Halleyschen Tafel:
S(1) = P (T ≥ 1) = 1 p(1) = 0
S(2) = P (T ≥ 2) = 855/1000 p(2) = 145/1000 h(2) = 145/855
S(3) = P (T ≥ 3) = 798/1000 p(3) = 57/1000 h(3) = 57/798
S(4) = P (T ≥ 4) = 760/1000 p(4) = 38/1000 h(4) = 38/760
.
.
.
S(82) = 28/1000 p(82) = 5/1000 h(82) = 5/28
S(83) = 23/1000 p(83) = 4/1000 h(83) = 4/23
S(84) = 19/1000 p(84) = 19/1000 h(84) = 1
S(85) = 0 p(85) = 0 h(85) = 0
5.2 Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit
5.2.1 Satz (Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit)
⋃
Es seien A 1 , A 2 , ... paarweise disjunkte Mengen mit ∞ A i = Ω. Weiter sei B ⊂ Ω. Dann
∑
gilt: P (B) = ∞ P (B|A i )P (A i ). Dabei setzt man P (B|A k )P (A k ) = 0, falls P (A k ) = 0.
i=1
Beweis:
⋃
A 1 ∩ B, A 2 ∩ B, ... sind paarweise disjunkt und ∞ (A i ∩ B) = B.
⋃
Damit gilt: P (B) = P ( ∞ ∑
(A i ∩ B)) = ∞ ∑
P (A i ∩ B) = ∞ P (B|A i )P (A i ).
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1