Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

5.5 Anwendung der Unabhängigkeit in der Zahlentheorie 41
S 1 S 2
S 3 S 4 S 5
Abbildung 5: Schaltkreis
5.5 Anwendung der Unabhängigkeit in der Zahlentheorie
5.5.1 Primzahlen und Unabhängigkeit
Sei N ∈ N. Dann gilt N = p α 1
1 · · · p α k
k
für geeignete Primzahlen p i und α i ∈ N.
Sei ϕ(N) = #{i ∈ N|i < N mit GGT(i, N) = 1} die Anzahl der natürlichen Zahlen, die
kleiner N und zu N teilerfremd sind.
Beispiel:
N 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ϕ(N) 1 2 2 4 2 6 4 6 4
Die „1“ zählt stets mit!
Behauptung: ϕ(N) = N ·
k∏
(1 − 1 p j
) (Eulersche Funktion).
j=1
Wir übersetzen die Aufgabenstellung in die Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Definiere Ω N := {i ∈ N|1 ≤ i ≤ N} = {1, . . . , N}. Für A ⊂ Ω N sei P (A) := #A
#Ω N
.
Sei A i = {m ∈ Ω N |p i teilt m} die Teilmenge der Zahlen aus Ω N , die durch p i teilbar sind.
Dann ist #A i = N p i
(Bemerkung:
N
p i
ist eine natürliche Zahl, da p i ein Faktor in der
Primzahlzerlegung von N ist.) und P (A i ) = N/p i
N = 1 p i
.
Weiter gilt: P (A i1 ∩...∩A il ) = 1
p i1 ...p il
= l ∏
j=1
∏
1
p ij
= l P (A ij ), denn |A i1 ∩. . .∩A il | =
j=1
Die Ereignisse A 1 , . . . , A k sind also unabhängig. Folglich gilt
P (Zahl ≤ N ist teilerfremd zu N) = P (A c 1 ∩ . . . ∩ A c k ) = ∏ k ∏
P (A c j) = k (1 − 1 p j
).
Und damit folgt die Behauptung ϕ(N) = N ·
k∏
(1 − 1 p j
).
j=1
j=1
j=1
N
p i1 ...p il
.
5.5.2 2-dimensionaler Fall
Wähle zufällig 2 Zahlen ≤ N. Dabei soll „zufällig“ heißen, daß jedes Paar (i, j) mit derselben
Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese
1
N 2
beiden Zahlen teilerfremd sind?