Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

12.2 Punktschätzer 107
3) Exponentialverteilung
f θ (x) = θe −θx 1 [0,∞) (x), θ ∈ (0,∞)
Man beobachtet in unabhängigen Experimenten die Messwerte x 1 , . . . , x n :
∏
f θ (x 1 , ..., x n ) = n θe −θx i
= θ n e −θ P n x i
i=1
i=1
0 = ! ∂ f ∂θ θ(x 1 , ..., x n ) = nθ n−1 e −θ P x i
∑
− θ n ( n x i )e −θ P x i
⇒ n − θ n ∑
Nebenbei:
!
x i
i=1
= 0 ⇒ ˆθ n = n
nP .
x i
i=1
n∑
x i /n ist auch Maximum-Likelihood-Schätzer von θ −1 .
i=1
4) Normalverteilung
Man beobachtet in unabhängigen Experimenten die Messwerte x 1 , . . . , x n :
θ = (µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ ∈ (0,∞).
∏
f θ (x 1 , ..., x n ) = n √ 1
2πσ 2 e−(x i−µ) 2 /2σ 2 (x
1
i −µ)
= √
2 /2σ 2
i=1
i=1
i=1
(2πσ 2 ) n e− n P
Weil die logarithmische Funktion streng monoton wachsend ist, hat eine Funktion
genau dann ein Maximum, wenn ihr Logarithmus ein Maximum hat. Also erhalten wir
dasselbe Ergebnis, wenn wir die Funktion l θ (x 1 , ..., x n ) := log f θ (x 1 , ..., x n ) maximieren:
a) ∂l θ
∂µ
b) ∂l θ
∂σ
!
= 0 ⇒ 1
2σ 2
l θ (x 1 , ..., x n ) = log f θ (x 1 , ..., x n )
= −n log σ − n log( √ 2π) − 1
2σ 2
n∑
2(x i − µ) = 0 ⇒ ˆµ n =
i=1
!
= 0 ⇒ − n σ + 1
σ 3
nP
x i
i=1
. n
n∑
(x i − µ) 2 = 0 ⇒ ˆσ n 2 = 1 n
i=1
Setze nun ˆµ n ein, so erhält man ˆσ 2 n = 1 n
n∑
(x i − µ) 2
i=1
n∑
(x i − µ) 2 .
i=1
n∑
(x i − x n ) 2 .
i=1
5) Hypergeometrische Verteilung
f θ (k) = (θ k)( N−θ
n−k)
, 0 ≤ θ ≤ N
( N k)
Eine kurze Rechnung ergibt: ˆθ(k) = [ N·k ], wobei [·] die Gauss-Klammer ist.
n
Das Ergebnis ist auch intuitiv plausibel. „Stochastischer Dreisatz“: k ∼ θ ⇒ θ ∼ N·k
n N
n .
12.2.4 Definition (stochastische Konvergenz)
Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß und für jedes n ∈ N sei X n eine Zufallvariable. Die Folge
(X n ) n∈N konvergiert P -stochastisch gegen die Zufallsvariable X, in Formeln X n P → X,
wenn für alle ε > 0 gilt: lim
n→∞
P (|X n − X| > ε) = 0.