Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

12.4 Konfidenzintervalle 115
wobei 1 A (x) =
1 − R(d) = 1 −
=
=
=
=
k∑
π(i)P i ({x ∈ X|d(x) ≠ i})
i=1
k∑
π(i) −
i=1
k∑
π(i)P i ({x ∈ X|d(x) ≠ i})
i=1
k∑
π(i)(1 − P i ({x ∈ X|d(x) ≠ i}))
i=1
k∑
π(i)P i ({x ∈ X|d(x) = i})
i=1
k∑
i=1
= ∑ x∈X
∑
x∈X
d(x)=i
p(x|i)π(i)
k∑
1 {x ′ ∈X|d(x ′ )=i}(x)p(x|i)π(i)
i=1
≤ ∑ max p(x|j)π(j)
j
x∈X
= ∑ x∈X
k∑
=
=
=
i=1
k∑
1 {x ′ |d ∗ (x ′ )=i}(x)p(x|i)π(i)
i=1
∑
x∈X
d ∗ (x)=i
p(x|i)π(i)
k∑
π(i)P i ({x ∈ X|d ∗ (x) = i})
i=1
k∑
π(i)(1 − P i ({x ∈ X|d ∗ (x) ≠ i}))
i=1
= 1 −
{
1 für x ∈ A
0 für x /∈ A .
k∑
π(i)P i ({x ∈ X|d ∗ (x) ≠ i})
i=1
= 1 − R(d ∗ ),