Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

34 5 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN UND UNABHÄNGIGKEIT
5.3.3 Beispiel: Diagnostischer Test
Wir betrachten einen Test auf Vorhandensein einer Krankheit, z.B. den PSA-Test auf
Prostata-Karzinom. Der Test hat die Ausgänge “positiv” und “negativ”. Aus “positiv”
schließt man auf Vorhandensein der Krankheit, aus “negativ” auf Nichtvorhandensein.
Doch der Test kann ein falsches Ergebnis liefern. Man unterscheidet zwischen zwei Fehlern:
Fehler 1. Art: falsch negativ (Die Krankheit wurde nicht entdeckt; kein Alarm trotz
Gefahr)
Fehler 2. Art: falsch positiv (Es liegt keine Krankheit vor; falscher Alarm)
Wir betrachen das folgende Diagnose-Beispiel:
Krankheitsrate: 1%; Testfehler: 10%.
Die Anwendung der Bayesschen Formel ergibt folgendes:
P (k|+) =
9
P (+|k)P (k)
P (+|k)P (k) + P (+|g)P (g) =
10 · 1
100
9 · 1
+ 1 · 99
10 100 10 100
= 1 12 .
Dabei steht k für krank, + steht für “der Test war positiv” und − steht für “der Test war
negativ”.
Ein Weg ohne die Bayessche Formel und ohne Wahrscheinlichkeitsrechung das Resultat
zu erhalten, geht so: Man stellt sich die Größen in einer Vierfelder-Tafel bezogen auf 1000
Probanden dar und liest das Ergebnis daraus ab.
gesamt Test positiv Test negativ
krank 10 9 1
gesund 990 99 891
gesamt 1000 108 892
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit krank zu sein, wenn der Test positiv ist?
9
Antwort: = 1 .
108 12
5.3.4 Beispiel
Eine Urne enthalte 3 Kugeln, von denen jede weiß oder schwarz sein kann. Es werden zwei
Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Die erste Kugel ist „schwarz“, die zweite
„weiß“.
Welches sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Urnenbelegungen, falls vor der
Ziehung alle Urnenbelegungen als gleich wahrscheinlich gelten (Siehe Abbildung 3).
Mögliche Urnenbelegungen:
1. Ziehung: „schwarz“
P ( 3
}{{}
Urne
| S
}{{}
Farbe
) =
i=1
2 · 1
3 4
P (S|3)P (3)
=
4∑
1
P (S|i)P (i)
(0 + 1 + 2 + 1) = 1 3 ,
4 3 3
P (2|S) = 1 6 , P (4|S) = 1 , P (1|S) = 0.
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