Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

50 7 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ VON VERTEILUNGEN
7 Erwartungswert und Varianz von Verteilungen
7.1 Der Erwartungswert
7.1.1 Beispiele
1) Spiel mit einem Würfel: Der Gewinn sei „i“, falls der Würfel „i“ ergibt. Was ist ein
fairer Einsatz?
Antwort: 1 · 1 + 1 · 2 + ... + 1 · 6 = 3, 5.
6 6 6
2) Sei n i die Anzahl der Familien mit „i“ Kindern.
Dann ist n = n 0 + n 1 + ... + n 18 die Anzahl der Familien,
und m = n 1 + 2n 2 + ... + 18n 18 die Anzahl der Kinder.
Mittlere Anzahl der Kinder pro Familie ist m n .
7.1.2 Definition (Erwartungswert)
Sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, p die zu P gehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion
und X eine Zufallsgröße auf Ω.
E(X) := ∑ ω∈Ω
X(ω)p(ω)
heißt Erwartungswert von X, falls X ≥ 0 oder ∑ |X(ω)|p(ω) < ∞ gilt.
ω∈Ω
7.1.3 Bemerkungen
(1) Der Erwartungswert ist der mittlere Wert einer Zufallsvariablen bzw. ihrer Verteilung.
(2) Sei f : R → R eine Funktion. Dann ist f ◦ X eine Zufallsgröße und wenn ihr Erwartungswert
existiert, so ist dieser E(f ◦ X) = ∑ ω∈Ω
f(X(ω))p(ω).
(3) EX = ∞ ist möglich, falls X ≥ 0 ist! Siehe Beispiel 7.2.4.
(4) Falls ∑ |X(ω)|p(ω) < ∞, so gilt E|X| = ∑ |X(ω)|p(ω).
ω∈Ω
ω∈Ω
Dies sieht man so: Da auf der rechten Seite eine absolut konvergente Reihe steht, kann
man die Reihe ∑ X(ω)p(ω) umordnen. Es gilt
ω∈Ω
E(X) = ∑ ω
X + (ω)p(ω) − ∑ ω
X − (ω)p(ω) = E(X + ) − E(X − ),
wobei X + (ω) := X(ω)∨0 und X − (ω) := (−X(ω)∨0) sind. Es gilt außerdem X ± (ω) ≥
0. Da |X(ω)| = X + (ω) + X − (ω) ist, gilt auch E|X| = E(X + ) + E(X − ).