Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

10.3 Absorbierende Zustände 85
Seien x, b ∈ N mit 0 < x < b. Weiter seien X 1 , X 2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen mit
∑
P (X i = 1) = p = 1 − P (X i = −1) für alle i und es sei S 0 = x und S n = x + n X i für
n ≥ 1. Damit ist S 0 , S 1 , S 2 , . . . eine Markov-Kette und S n ist das Kapital, das Hans nach
n Runden besitzt. Wir frage nach der Ruin-Wahrscheinlichkeit:
P (x) = P (∃n mit S n = 0 und 0 < S i < b für i < n | S 0 = x) .
i=1
Abbildung 10.3: Ruin-Wahrscheinlichkeiten
10.3.4 Satz
Sei q = 1 − p.
Für p = 1 2 gilt P (x) = 1 − x b
Für p ≠ 1 2 gilt P (x) = ( q p )b − ( q p )x
( q p )b − 1
für 0 ≤ x ≤ b.
für 0 ≤ x ≤ b.
Beweis:
Fall 1: Sei p = 1.
2
Satz 10.3.2 liefert: P (x) = 1P (x − 1) + 1 2 2
P (x + 1) für 0 < x < b, P (0) = 1, P (b) = 0.
Durch Lösen dieses linearen Gleichungssystems ergibt sich: P (x) = 1 − x.
b
Fall 2: Sei p ≠ 1.
2
Satz 10.3.2 liefert: P (x) = pP (x + 1) + qP (x − 1) für 0 < x < b, P (b) = 0, P (0) = 1.
Dann ist
P (x) = pP (x + 1) + qP (x − 1)
pP (x) + qP (x) = pP (x + 1) + qP (x − 1)
P (x + 1) − P (x) = q (P (x) − P (x − 1)).
p
Wiederholtes Anwenden liefert
P (x + 1) − P (x) = ( q p )x (P (1) − P (0)).
Sei r := q . p
Aufaddieren liefert P (x) − P (0) = rx −1(P (1) − P (0)).
r−1
Wegen P (0) = 1 gilt P (x) = 1 + rx −1(P (1) − 1).
r−1
Wegen P (b) = 0 gilt P (1) − 1 = − r−1 . r b −1
Einsetzen in die vorangegangene Gleichung liefert die Behauptung.