Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

10.5 Stationäre Verteilungen 89
= ∑ x
= ∑ x
= ∑ z
= ∑ z
π(x)q n (x, y)
π(x) ∑ q(x, z)q n−1 (z, y)
z
∑
π(x)q(x, z)q n−1 (z, y)
x
q n−1 (z, y)π(z)
.
= π(y).
10.5.3 Beispiel (Ehrenfestsches Urnenmodell)
Behauptung:
π(i) = ( N
i
)
2 −N ist stationäre Verteilung des Ehrenfestschen Urnenmodells.
Beweis:
Zu zeigen: ∑ i
∑
π(i)q(i, j)
i
= ∑ i
π(i)q(i, j) = π(j).
( N
i
)
2 −N q(i, j)
=
( )
( )
N −N N − (j − 1) N
2 + 2 −N j + 1
j − 1 N j + 1 N
[
N!
=
(j − 1)!(N − (j − 1))!
[
=
(N − 1)!
(j − 1)!(N − j)!
N − (j − 1)
N
j
j + (N − 1)!
j!(N − j − 1)!
+
N!
(j + 1)!(N − (j + 1))!
]
N − j
2 −N
N − j
]
j + 1
2 −N
N
=
=
(N − 1)!j + (N − 1)!(N − j)
2 −N
j!(N − j)!
( N
j
)
2 −N = π(j).
Es gibt noch einen einfacheren Weg die Stationarität von π zu zeigen. Man verwendet
dazu das folgende Lemma.