Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

6.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 49
b) Sind die X i Poisson-verteilt mit Parameter λ i für i = 1, 2, dann ist X 1 + X 2 Poissonverteilt
mit Parameter λ 1 + λ 2 .
Beweis:
⋃
zu (a): P ({X 1 + X 2 = l}) = P ( l {X 1 = i, X 2 = l − i})
=
=
=
=
i=0
l∑
P ({X 1 = i, X 2 = l − i})
i=0
l∑
P ({X 1 = i})P ({X 2 = l − i})
i=0
l∑
(
n1
i=0
)
(
p i (1 − p) n n2
1−i
l − i
i
l∑
p l (1 − p) n 1+n 2 −l
i=0
= p l (1 − p) n 1+n 2 −l
= p l (1 − p) n 1+n 2 −l
l∑
( )(
n1 n2
i
( i=0
n1 + n 2
)
p l−i (1 − p) n 2−l+i
)
l − i
)
( )(
n1 n2
⋃
zu (b): P ({X 1 + X 2 = l}) = P ( l {X 1 = i, X 2 = l − i})
=
=
i=0
l
i
l − i
)
l∑
P ({X 1 = i})P ({X 2 = l − i})
i=0
l∑
i=0
λ i 1
= e −(λ 1+λ 2 )
= e −(λ 1+λ 2 ) 1 l!
λ l−i
i! e−λ 1 2
(l − i)! e−λ 2
l∑
i=0
λ i 1
λ l−i
2
i! (l − i)!
l∑
i=0
= e −(λ 1+λ 2 ) (λ 1 + λ 2 ) l
l!
( l
i)
λ i 1λ l−i
2 , da
( )
l! l
i!(l − i)! = i
(binomische Formel)