Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

7.4 Varianzen einiger Verteilungen 57
7.4 Varianzen einiger Verteilungen
7.4.1 Gleichverteilung auf einer endlichen Menge
Sei Ω = {1, ..., n} und p(i) = 1 für alle i ∈ Ω. Weiter sei X : Ω → R eine Zufallsvariable
n
und X(Ω) = {x 1 , ..., x n } ihr Wertebereich. Dann gilt:
n∑
n∑
E(X) = 1 x
n i =: x n , Var(X) = 1 (x
n i − x n ) 2 .
i=1
i=1
n∑
n∑
Da Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 , gilt: 1 (x
n i − x n ) 2 = 1 x 2 n i − x 2 n und damit
i=1
i=1
n∑ ∑
x 2 i = n (x i − x n ) 2 + nx 2 n.
i=1
i=1
7.4.2 Bernoulli-Variablen und ihre Summen
Seien X 1 , . . . , X n unabhängige Zufallsvariablen mit P (X i = 1) = p i und P (X i = 0) =
1 − p i . Dann gilt: E(X i ) = p i und Var(x i ) = p i − p 2 i = p i (1 − p i ).
∑
Sei S n = n ∑
X i . Dann ist wegen E(S n ) = n ∑
p i und Var(S n ) = n ∑
p i − n p 2 i .
Sei p := 1 n
i=1
n∑
p i . Dann gilt
i=1
i=1
Var(S n ) wird maximal, wenn p i = p für alle i. In diesem Fall ist dann Var(S n ) = np(1−p).
Beweis: Var(S n ) = np − n ∑
7.4.1
p 2 {}}{
i
i=1
∑
= np − (np 2 + n (p i − p) 2 )
∑
Die rechte Seite wird minimal, falls n (p i − p) 2 = 0. Dies gilt genau dann, wenn p i = p
für alle i ist.
7.4.3 Poisson-Verteilung
Sei X Poisson-verteilt mit Parameter λ. Dann gilt:
E(X) = λ und Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)] 2 = λ, denn:
i=1
∞∑
E(X 2 ) = k 2 λk
k! e−λ
k=1
∞∑
= λ k
λk−1
(k − 1)! e−λ
k=1
= λ 2 ∞
∑
k=2
= λ 2 ∞
∑
l=0
= λ 2 + λ.
i=1
λ k−2
(k − 2)! e−λ + λ
λ l
l! e−λ
} {{ }
=1
Und damit ist Var(X) = λ 2 + λ − λ 2 = λ.
+λ
∞∑
k=1
∞∑ λ m
m! e−λ
m=0
} {{ }
=1
i=1
λ k−1
(k − 1)! e−λ
i=1