Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

9.3 Ausgedünnte Poisson-Prozesse 75
9.2.2 Definition (Poisson-Prozess)
Die Menge der Zufallsvariablen {X t , 0 ≤ t ≤ K} mit den Eigenschaften (1)–(3) heißt
Poisson-Prozess zum Parameter λ.
X t
t
zufällige Zeiten
Bemerkung: Eigenschaft (3) lässt sich ersetzen durch (3’): Für 0 ≤ s ≤ t gilt: X t − X s
ist Poisson-verteilt mit Parameter λ(t − s). Wir haben in 7.1.9, 3) gezeigt: (1)-(3)⇒(3’).
Umgekehrt läßt sich leicht zeigen: (1)+(2)+(3’)⇒(3).
9.3 Ausgedünnte Poisson-Prozesse
9.3.1 Satz
Sei {X t , t ∈ [0, K]} Poisson-Prozess mit Parameter λ. Seien Z 1 , Z 2 , ... Bernoulli-Variable
mit P (Z i = 1) = p. Weiter seien X t , Z 1 , Z 2 , ... für unabhängig (d.h. für jedes n ≥ 1 und
sind X t , Z 1 , Z 2 , ..., Z n unabhängig).
∑
Dann ist Y t = Xt
Z i Poisson-verteilt mit Parameter λpt.
i=1
Weitergehend ist {Y t , t ∈ [0, K]} Poisson-Prozess mit Parameter λp, wenn die geforderte
Unabhängigkeitseigenschaft für alle t > 0 gilt.
Beweis:
Zeige, dass f Yt (z) = e λpt(z−1) gilt. Sei S n = n ∑
P (Y t = k) = P (S Xt = k) =
i=1
Z i . Dann ist:
∞∑
P (X t = n, S n = k) =
n=0
∞∑
P (X t = n)P (S n = k)
n=0
f Yt (z) =
=
=
∞∑
P (Y t = k)z k
k=0
∞∑
k=0 n=0
∞∑
P (Y t = n)P (S n = k)z k
∞∑
∞∑
P (X t = n)( P (S n = k)z k )
n=0
k=0